Transformadas Inversas – Completando Quadrados
Teoria
A transformada deslocada
Imagine agora que a gente quer calcular a transformada inversa da seguinte função:
Se:
Então é deslocada em unidades. Então:
Beleza, quando a gente viu transformada, vimos que a presença de uma exponencial a desloca:
E esse deslocamento é determinado justamente pela constante que multiplica na exponencial. Assim, a transformada inversa de:
É a transformada inversa de com uma exponencial multiplicando ela. A exponencial terá constante , que o número que aparece subtraindo o na fração acima.
Deslocamento no seno e no cosseno
Esse deslocamento merece destaque em funções seno e cosseno, como por exemplo, se:
Então:
Fique ligado no sinal da constante que é sempre trocado!
No cosseno, esse deslocamento tem que aparecer no numerador também para aplicar a transformada inversa:
E sim:
Completando quadrados
Você não vai encontrar uma transformada bonitinha como antes para achar a inversa. Você geralmente encontra algo assim:
Não dá para decompor isso aí em frações parciais, pois as raízes não são reais. Aí você precisa tentar deixar esse denominador na forma para achar a inversa da transformada como uma transformada deslocada, assim como fizemos antes.
Tá, mas como chegamos nisso? É simples, lembre da distribuição do quadrado:
Substituindo na forma que a gente quer:
Comparando com o nosso polinômio do denominador e ignorando a constante, vemos que:
Então devemos deixar esse denominador na forma:
Distribuindo:
Comparando com o nosso denominador novamente:
Logo o denominador vai ficar:
Jogando na transformada:
Essa transformada é a transformada de:
Deslocada em unidade e com . Então:
Resumindo então, para completar quadrados, você precisa escrever o denominador no formato:
Para achar o , você deve comparar o denominador com a distribuição geral de . Depois de achar , você distribui substituindo o valor de e compara com o denominador para achar . Achou os dois valores? Só substituir na forma geral:
Substituir o denominador por ela e calcular a inversa da transformada.
Deslocamento no seno e no cosseno
Completando quadrados
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-20.
Calcule:
Passo 1
Frações parciais? Não precisa. É só usar um algebrismo malandro. Repare que:
Passo 2
Para o primeiro termo, podemos simplificar:
Então vai ficar:
Passo 3
Lembramos agora que:
Tá, mas e aí? Não tá igual. Sim, mas estamos perto. A inversa que temos é a inversa acima deslocada. E o que desloca a transformada? A exponencial!
Então:
Passo 4
Para a outra, temos a mesma coisa, mas para :
Juntando tudo:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UERJ – Cálculo 3 – Lista 8 – Prof. Paula Clemente – 4f
Ache a transformada inversa da função dada:
Passo 1
Eita que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!
Esse denominador aí não tem raízes reais, então vamos tentar escrevê-lo no formato:
Passo 2
Comparando com o nosso denominador, obtemos:
Então:
Passo 3
Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada?? Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui:
Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:
Opa, esse daí você conhece, o inverso dele é:
Passo 4
Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente conversou e viu que:
Se eu pegar uma função que varia com e multiplicar ela por uma exponencial , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento , nesse caso estamos deslocados em , logo , assim . A cara do resultado é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UNICAMP Cálculo3 – P2 2010 – 1b
Calcule a transformada inversa de Laplace da função:
Dica:
Passo 1
Bem, essa dica aí é de grande valia. Não vamos ter que calcular as frações parciais. Se considerarmos , só para facilitar a visualização, então:
Passo 2
Vamos ter agora:
Aplicando a inversa dessa belezinha:
Como a transformada é linear:
Passo 3
Lembre-se que:
Repare e veja que essas transformadas acima são aquelas que queremos calcular só que deslocadas. O que desloca a transformada, Ahn? Ahn? Ahn? A exponencial! E da seguinte forma:
É sím, rapaz, acredite! Comprando as duas expressões, vemos que então:
E:
Juntando tudo: