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Transformadas Inversas – Completando Quadrados

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Teoria

A transformada deslocada

Imagine agora que a gente quer calcular a transformada inversa da seguinte função:

F s = 1 s - 2

Se:

L 1 = 1 s = G ( s )

Então F ( s ) é G ( s ) deslocada em 2 unidades. Então:

F s = G ( s - 2 )

Beleza, quando a gente viu transformada, vimos que a presença de uma exponencial a desloca:

L e a t ⋅ 1 = 1 s - a = L { 1 } ( s - a )

E esse deslocamento é determinado justamente pela constante que multiplica t na exponencial. Assim, a transformada inversa de:

F s = 1 s - 2

É a transformada inversa de 1 / s com uma exponencial multiplicando ela. A exponencial terá constante 2 , que o número que aparece subtraindo o s na fração acima.

L - 1 F s = L - 1 1 s - 2 = 1 ⋅ e 2 t

Deslocamento no seno e no cosseno

Esse deslocamento merece destaque em funções seno e cosseno, como por exemplo, se:

F s = 1 s + 5 2 + 1

Então:

L - 1 F s = e - 5 t  sen ⁡ ( t )

Fique ligado no sinal da constante que é sempre trocado!

No cosseno, esse deslocamento tem que aparecer no numerador também para aplicar a transformada inversa:

L - 1 s s + 5 2 + 1 ≠ e - 5 t cos ⁡ ( t )

E sim:

L - 1 s + 5 s + 5 2 + 1 = e - 5 t cos ⁡ ( t )

Completando quadrados

Você não vai encontrar uma transformada bonitinha como antes para achar a inversa. Você geralmente encontra algo assim:

L - 1 2 s 2 + 2 s + 3 = ? ?

Não dá para decompor isso aí em frações parciais, pois as raízes não são reais. Aí você precisa tentar deixar esse denominador na forma s + a 2 + b para achar a inversa da transformada como uma transformada deslocada, assim como fizemos antes.

Tá, mas como chegamos nisso? É simples, lembre da distribuição do quadrado:

s + a 2 = s 2 + 2 a s + a 2

Substituindo na forma que a gente quer:

s + a 2 + b = s 2 + 2 a s + a 2 + b

Comparando com o nosso polinômio do denominador e ignorando a constante, vemos que:

s 2 + 2 s + 3   / /   s 2 + 2 a s + a 2 + b ⟹ 2 a = 2 ⟹ a = 1

Então devemos deixar esse denominador na forma: s + 1 2 + b

Distribuindo:

  s + 1 2 + b = s 2 + 2 s + 1 + b

Comparando com o nosso denominador novamente: s 2 + 2 s + ( 1 + b ) = s 2 + 2 s + 3 ⟹ b = 2

Logo o denominador vai ficar:

s 2 + 2 s + 3 = s + 1 2 + 2

Jogando na transformada:

L - 1 2 s 2 + 2 s + 3 = L - 1 2 s + 1 2 + 2 = L - 1 2 s + 1 2 + 2 2

Essa transformada é a transformada de: L - 1 a s 2 + a 2 = sen ⁡ ( a t )  

Deslocada em 1 unidade e com a = 2 . Então:

L - 1 2 s + 1 2 + 2 2 = e - 1 t sen ⁡ ( 2 t )  

Resumindo então, para completar quadrados, você precisa escrever o denominador no formato:

s + a 2 + b Para achar o a , você deve comparar o denominador com a distribuição geral de s + a 2 + b . Depois de achar a , você distribui s + a 2 + b substituindo o valor de a e compara com o denominador para achar b . Achou os dois valores? Só substituir na forma geral: s + a 2 + b

Substituir o denominador por ela e calcular a inversa da transformada.

Deslocamento no seno e no cosseno

Completando quadrados

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-20.

Calcule:

L - 1 5 s s - 2 3

Passo 1

Frações parciais? Não precisa. É só usar um algebrismo malandro. Repare que:

5 s s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 + 2 s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 s - 2 3 + 5 ⋅ 2 s - 2 3

Passo 2

Para o primeiro termo, podemos simplificar:

5 ⋅ s - 2 s - 2 3 = 5 ⋅ 1 s - 2 2

Então vai ficar:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 L - 1 1 s - 2 2 + 5 L - 1 2 s - 2 3

Passo 3

Lembramos agora que:

L t = 1 s 2

Tá, mas e aí? Não tá igual. Sim, mas estamos perto. A inversa que temos é a inversa acima deslocada. E o que desloca a transformada? A exponencial!

L e a t f t = L { f ( t ) } ( s - a )

Então:

L e 2 t t = 1 ( s - 2 ) 2 ⟹ L - 1 1 s - 2 2 = t e 2 t

Passo 4

Para a outra, temos a mesma coisa, mas para n = 2 :

L t 2 = 2 s 3 ⟹ L e 2 t t 2 = 2 s - 2 3 ⟹ L - 1 2 s - 2 3 = t 2 e 2 t

Juntando tudo:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Resposta

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Exercício Resolvido #2

UERJ – Cálculo 3 – Lista 8 – Prof. Paula Clemente – 4f

Ache a transformada inversa da função dada:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Eita que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

Esse denominador aí não tem raízes reais, então vamos tentar escrevê-lo no formato:

s + a 2 + b = s 2 + 2 a + ( a 2 + b )

Passo 2

Comparando com o nosso denominador, obtemos:

a = 1 ; b = 4

Então:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Passo 3

Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada?? Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui:

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:

2 s s 2 + 4

Opa, esse daí você conhece, o inverso dele é:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente conversou e viu que: L e c t f t s = L f t s - c

Se eu pegar uma função que varia com t e multiplicar ela por uma exponencial e c t , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento ( s - c ) , nesse caso estamos deslocados em y + 1 , logo - c = + 1 , assim c = - 1 . A cara do resultado é:

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Resposta

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Exercício Resolvido #3

UNICAMP Cálculo3 – P2 2010 – 1b

Calcule a transformada inversa de Laplace da função:

F ( s ) = 1 s - 3 { s - 3 2 + 1 }

Dica: 1 s ( s 2 + 1 ) = 1 s - s s 2 + 1

Passo 1

Bem, essa dica aí é de grande valia. Não vamos ter que calcular as frações parciais. Se considerarmos u = s - 3 , só para facilitar a visualização, então:

1 s - 3 { s - 3 2 + 1 } = 1 u ( u 2 + 1 ) = 1 u - u u 2 + 1 = 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 2

Vamos ter agora:

F ( s ) = 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Aplicando a inversa dessa belezinha:

L - 1 F s = L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Como a transformada é linear:

L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1 = L - 1 1 s - 3 - L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 3

Lembre-se que:

L 1 = 1 s ;   L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Repare e veja que essas transformadas acima são aquelas que queremos calcular só que deslocadas. O que desloca a transformada, Ahn? Ahn? Ahn? A exponencial! E da seguinte forma:

L e a t f t = L f t t - a

É sím, rapaz, acredite! Comprando as duas expressões, vemos que a = 3 então:

L - 1 1 s - 3 = 1 ⋅ e 3 t

E:

L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1 = cos ⁡ t e 3 t

Juntando tudo:

L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1 = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]

Resposta

L - 1 F s = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]