Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Oi, galerinha! Neste tópico nós avançar um pouco e aprender a transformada inversa das funções exponenciais. Vamos de exemplo para saber como é cara dessa função,

F s = e - 5 s s 2

Repara que nós temos a nossa parte exponencial no numerador que multiplica outra função. Opa, como assim multiplica? Eu to vendo dividir.

Então relaxa, é só olhar a função assim ó,

F s = e - 5 s . 1 s 2

Ok, agora vamos dar uma relembrada na transformada com exponencial para depois resolver essa transformada inversa dessa função.

Transformada com exponencial

Uma função degrau, centrada num ponto c qualquer, é dada por:

u c t = u ( t - c ) = 0 ,     t < c 1 ,     t ≥ c  

E a transformada de uma função deslocada para c e multiplicada por um degrau também em c é:

L f t - c u t - c = e - c s L { f ( t ) }  

Opa, repara que quando fizemos a transformada, achamos um termo e - c s multiplicado por função. Repara que esse resultado é o mesmo formato do nosso exemplo em que estamos buscando a transformada inversa, onde c = 5 .

Se isso ficou meio confuso, volta lá no tipo de transformada de função com degrau que a gente fala disso com mais detalhes.

Transformada inversa e exponenciais

Agora vamos seguir e aprender a fazer essa transformada inversa do nosso exemplo! Olha ele aí de novo,

F s = e - 5 s ⋅ 1 s 2

A transformada inversa de 1 / s 2   é t .

Agora precisamos analisar o efeito da presença de e - 5 s nisso.

A presença da exponencial indica que a função original está deslocada. Então:

t → ( t - c )

E multiplicada por um degrau:

t - c → t - c u t - c

Qual o valor deste deslocamento? Igual a constante da exponencial. Como já adiantei para vocês, a constante da exponencial é 5 , então:

t - c u t - c → ( t - 5 ) u ( t - 5 )

Portanto,

L - 1 F s = L - 1 e - 5 s ⋅ 1 s 2 = ( t - 5 ) u ( t - 5 )

Está legal, então se a transformada de Laplace é:

L f t - c u t - c = e - c s L { f ( t ) }

A transformada inversa será:

L - 1 { e - c s L { f ( t ) } } = f t - c u t - c

Ou seja, quando quisermos calcular a transformada inversa de uma transformada com exponencial, já dá para ficar esperto porque terá um degrau na resposta.

Dito isso, vamos terminar o exemplo,

L - 1 e - 5 s . 1 s 2 = ( t - 5 ) u ( t - 5 )

Repara que não basta pegar somente a transformada inversa da parte sem a exponencial e colocar um degrau multiplicando ela. Você precisa deslocá-la também!

Então, galerinha, uma coisa que você precisa ficar bem atento é que:

L - 1 e - c s L f t ≠ f t u t - c

Ou seja, você não pode esquecer do deslocamento em f .

Em resumo o que sempre vamos fazer é:

  • Exponencial na transformada degrau na função e função deslocada para o ponto central do degrau. O sinal da constante da exponencial e do deslocamento não troca.
  • Deslocamento na transformada Exponencial na função. O sinal do deslocamento e da constante da exponencial é trocado.

Com nosso amigo seno deslocado. Exercícios uhuuul!

Ok, agora vamos dar uma relembrada na transformada com exponencial para depois resolver essa transformada inversa dessa função.

Transformada com exponencial

Transformada inversa e exponenciais