Transformada da Inversa de Funções Exponenciais
Teoria
Oi, galerinha! Neste tópico nós avançar um pouco e aprender a transformada inversa das funções exponenciais. Vamos de exemplo para saber como é cara dessa função,
Repara que nós temos a nossa parte exponencial no numerador que multiplica outra função. Opa, como assim multiplica? Eu to vendo dividir.
Então relaxa, é só olhar a função assim ó,
Ok, agora vamos dar uma relembrada na transformada com exponencial para depois resolver essa transformada inversa dessa função.
Transformada com exponencial
Uma função degrau, centrada num ponto qualquer, é dada por:
E a transformada de uma função deslocada para e multiplicada por um degrau também em é:
Opa, repara que quando fizemos a transformada, achamos um termo multiplicado por função. Repara que esse resultado é o mesmo formato do nosso exemplo em que estamos buscando a transformada inversa, onde .
Se isso ficou meio confuso, volta lá no tipo de transformada de função com degrau que a gente fala disso com mais detalhes.
Transformada inversa e exponenciais
Agora vamos seguir e aprender a fazer essa transformada inversa do nosso exemplo! Olha ele aí de novo,
A transformada inversa de é .
Agora precisamos analisar o efeito da presença de nisso.
A presença da exponencial indica que a função original está deslocada. Então:
E multiplicada por um degrau:
Qual o valor deste deslocamento? Igual a constante da exponencial. Como já adiantei para vocês, a constante da exponencial é , então:
Portanto,
Está legal, então se a transformada de Laplace é:
A transformada inversa será:
Ou seja, quando quisermos calcular a transformada inversa de uma transformada com exponencial, já dá para ficar esperto porque terá um degrau na resposta.
Dito isso, vamos terminar o exemplo,
Repara que não basta pegar somente a transformada inversa da parte sem a exponencial e colocar um degrau multiplicando ela. Você precisa deslocá-la também!
Então, galerinha, uma coisa que você precisa ficar bem atento é que:
Ou seja, você não pode esquecer do deslocamento em .
Em resumo o que sempre vamos fazer é:
- Exponencial na transformada degrau na função e função deslocada para o ponto central do degrau. O sinal da constante da exponencial e do deslocamento não troca.
- Deslocamento na transformada Exponencial na função. O sinal do deslocamento e da constante da exponencial é trocado.
Com nosso amigo seno deslocado. Exercícios uhuuul!
Ok, agora vamos dar uma relembrada na transformada com exponencial para depois resolver essa transformada inversa dessa função.
Transformada com exponencial
Transformada inversa e exponenciais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-34.
Calcule:
Passo 1
Temos uma exponencial na transformada. Ela indica que a função que a gente quer determinar está deslocada e multiplicada por um degrau:
Comparando:
E . Teremos o formato:
Passo 2
Sendo a inversa de e comparando com a transformada do cosseno:
Vemos que:
Então:
Lembrando da formula de adição de arcos
Passo 3
Então, substituindo:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-32.
Calcule:
Passo 1
Tá bem, a primeira coisa a fazer aqui é abrir aquele numerador:
Passo 2
Então vai ficar:
Como a transformada inversa é linear:
Passo 3
Para a primeira, temos a transformada inversa de deslocada. O que desloca a transformada? A exponencial na função:
Comparando essa fórmula com o nosso caso, temos e ...
Como , substituindo no lugar de ...
Logo...
Passo 4
Agora, além do deslocamento, temos uma exponencial. A exponencial na presença de um degrau na função:
Repare que não é só o degrau que surge, ele também desloca a função para seu ponto central. Então vai ficar:
Vimos que:
Logo:
Portanto:
Passo 5
A mesmíssima coisa acontece para a outra transformada:
Passo 6
Juntando tudo: