Teoria

Fala aí, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como calcular a transformada inversa de Laplace?

-Mas o que é isso? 😖

Sabe lá em Cálculo 1, quando a gente aprende a integrar e descobre que a integral e o inverso da derivada? É esse o espirito da transformada inversa de Laplace! Por exemplo, qual é a função que me dá essa transformada abaixo:

Se você correr lá na nossa Tabela de Transformadas de Laplace e procurar a transformada acima, você vai descobrir que:

Então podemos dizer que a transformada da inversa de é , representamos da seguinte forma:

Bem tranquilo, não é?! Agora a gente vai dar uma olhada nas transformadas inversas tradicionais e depois vamos ver o que pode complicar na hora da sua prova! Bora lá?

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Transformadas Inversas Tradicionais

Para acharmos a transformada da inversa a gente tem que sempre pensar ao contrário! Abaixo temos algumas transformadas inversas tradicionais, saca só:

Essa primeira é a que usamos no exemplo acima! Lá tínhamos igual a !

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Transformada Inversa de Laplace de Funções Compostas

A gente terminou de ver as transformadas inversas tradicionais, mas as vezes a gente precisa decompor uma função para resolve-la! Vamos fazer um exemplo:

Passo 1: Fatorar o Denominador

A primeira coisa que vamos fazer é olhar para o denominador e pensar como podemos decompô-lo, nesse caso temos uma equação de segundo grau. Então precisamos das suas raízes!

Agora podemos escrever:

Assim:

Passo 2: Igualar a expressão de à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos

O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Por exemplo: , temos , então no numerador devemos ter , ou seja, um polinômio de grau zero (apenas uma constante).

Passo 3: Fazer o MMC dessas frações e juntá-las ao mesmo denominador

Para isso fazemos:

Passo 4: Achar os coeficientes a e b

Sabemos que:

Ou seja:

Podemos montar o seguinte sistema:

Resolvendo achamos:

Passo 5: Reescrever a função

Substituindo e chegamos na seguinte transformada:

Passo 6: Resolver a Transformada

Agora tudo o que precisamos fazer é resolver a transformada normalmente, com isso chegamos em:

Agora vamos praticar com exercícios?

Transformada Inversa de Laplace de Funções Compostas

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