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Transformada Inversa de Laplace

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Teoria

Fala aí, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como calcular a transformada inversa de Laplace?

-Mas o que é isso? 😖

Sabe lá em Cálculo 1, quando a gente aprende a integrar e descobre que a integral e o inverso da derivada? É esse o espirito da transformada inversa de Laplace! Por exemplo, qual é a função que me dá essa transformada abaixo:

Se você correr lá na nossa Tabela de Transformadas de Laplace e procurar a transformada acima, você vai descobrir que:

Então podemos dizer que a transformada da inversa de é , representamos da seguinte forma:

Bem tranquilo, não é?! Agora a gente vai dar uma olhada nas transformadas inversas tradicionais e depois vamos ver o que pode complicar na hora da sua prova! Bora lá?

📢 Clique para saber mais:

Transformadas Inversas Tradicionais

Para acharmos a transformada da inversa a gente tem que sempre pensar ao contrário! Abaixo temos algumas transformadas inversas tradicionais, saca só:

Essa primeira é a que usamos no exemplo acima! Lá tínhamos igual a !

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Transformada Inversa de Laplace de Funções Compostas

A gente terminou de ver as transformadas inversas tradicionais, mas as vezes a gente precisa decompor uma função para resolve-la! Vamos fazer um exemplo:

Passo 1: Fatorar o Denominador

A primeira coisa que vamos fazer é olhar para o denominador e pensar como podemos decompô-lo, nesse caso temos uma equação de segundo grau. Então precisamos das suas raízes!

Agora podemos escrever:

Assim:

Passo 2: Igualar a expressão de à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos

O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Por exemplo: , temos , então no numerador devemos ter , ou seja, um polinômio de grau zero (apenas uma constante).

Passo 3: Fazer o MMC dessas frações e juntá-las ao mesmo denominador

Para isso fazemos:

Passo 4: Achar os coeficientes a e b

Sabemos que:

Ou seja:

Podemos montar o seguinte sistema:

Resolvendo achamos:

Passo 5: Reescrever a função

Substituindo e chegamos na seguinte transformada:

Passo 6: Resolver a Transformada

Agora tudo o que precisamos fazer é resolver a transformada normalmente, com isso chegamos em:

Agora vamos praticar com exercícios?

Transformada Inversa de Laplace de Funções Compostas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-31.

Calcule:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )  

Passo 1

Bem, essa transformada não está parecida com nada que a gente conhece, então vamos tentar separar em frações parciais para dar uma melhorada nisso aí. s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s + b s 2 + 4 + c s + 2

Temos um polinômio de primeiro grau na primeira fração à direita da igualdade porque o denominador é polinômio de segundo grau.

Passo 2

Juntando tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 + 4 + c s + 2 = a s + b s + 2 + c ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s 2 + b s + 2 a s + 2 b + c s 2 + 4 c ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c s 2 + 2 a + b s + ( 4 c + 2 b ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema:

a + c = 0 2 a + b = 1 4 c + 2 b = 0

Pela primeira equação:

a = - c

Substituindo na segunda:

- 2 c + b = 1 ⟹ b = 1 + 2 c

Substituindo na terceira:

4 c + 2 + 4 c = 0 ⟹ 8 c = - 2 ⟹ c = - 1 4

Assim:

a = 1 4

E:

b = 1 - 1 2 = 1 2

Portanto:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Passo 3

Agora ficou bem mais fácil achar a inversa. Substituindo o valor:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Como a transformada inversa também é linear:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2 = 1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 - 1 4 L - 1 1 s + 2

A primeira transformada não é muito clara de ver de cara. Precisamos separar para chegar em algo que identifique:

1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 = 1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4

Agora sim. Como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + 4 L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então:

1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Agora, para a transformada inversa que falta:

1 4 L - 1 1 s + 2 = 1 4 e - 2 t

Que é transformada de 1 deslocada pela exponencial. Lembre-se que o sinal aqui é trocado!

Assim, juntando tudo:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

Resposta

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-32.

Calcule:

L - 1 1 s 4 - 9

Passo 1

s 4 ? ? AHHHHHHHHH! Calma, jovem. É só você lembrar do conjugado aqui:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Então:

s 4 - 9 = s 2 2 - 3 2 = ( s 2 + 3 ) ( s 2 - 3 )

Assim:

1 s 4 - 9 = 1 ( s 2 + 3 ) ( s 2 - 3 )

Passo 2

Essa transformada ainda não ficou lá muito clara. Então vamos tentar separar isso em frações parciais. Lembrando que:

s 2 - 3 = ( s + 3 ) ( s - 3 )

O outro polinômio não possui raízes reais. Então podemos separar da seguinte forma:

1 s 2 + 3 s 2 - 3 = a s + b s 2 + 3 + c s + 3 + d s - 3

Agora vamos juntar tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 - 3 + c s 2 + 3 s - 3 + d s 2 + 3 s + 3 s 2 + 3 s 2 - 3 =

a s 3 + b s 2 - 3 a s - 3 b + c s 3 - 3 s 2 + 3 s - 3 3 + d ( s 3 + 3 s 2 + 3 s + 3 3 ) s 2 + 3 s 2 - 3

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c + d s 3 + b - 3 c + 3 d s 2 + - 3 a + 3 c + 3 d s + - 3 b - 3 3 c + 3 3 d s 2 + 3 s 2 - 3

= 1 s 2 + 3 s 2 - 3

Comparando os coeficientes:

a + c + d = 0 b - 3 c + 3 d = 0 - 3 a + 3 c + 3 d = 0 - 3 b - 3 3 c + 3 3 d = 1

É, eu sei, é um sistema bem grandinho. Resolvendo isso aí, encontraremos:

a = 0 ,     b = - 1 6 ,     d = 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ,     c = - 1 4 ⋅ 3 3 / 2

Então, substituímos:

1 s 2 + 3 s 2 - 3 = - 1 6 ⋅ 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s - 3

Então:

L - 1 1 s 2 + 3 s 2 - 3 = L - 1 - 1 6 ⋅ 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 ⋅ 1 s - 3

Como a transformada inversa é linear:

… = - 1 6 L - 1 1 s 2 + 3 - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s - 3

Passo 3

Para chegar no molde bonitinho de:

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Multiplicamos e dividimos por 3 / 3 :

- 1 6 L - 1 1 s 2 + 3 = - 1 6 3 L - 1 3 s 2 + 3 = - 1 6 3 sen ⁡ ( 3 t )

Para das demais, temos a derivada de 1 deslocada em virtude de uma exponencial:

L e a t = 1 s - a

Então:

- 1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s + 3 = - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t

E:

1 4 ⋅ 3 3 / 2 L - 1 1 s - 3 = 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Juntando tudo:

L - 1 1 s 4 - 9 = - 1 6 3 sen ⁡ 3 t - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Resposta

L - 1 1 s 4 - 9 = - 1 6 3 sen ⁡ 3 t - 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e - 3 t + 1 4 ⋅ 3 3 / 2 e 3 t

Exercício Resolvido #3

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2011.1 Santos – 2a

Usar a fórmula L ∫ 0 t f τ d τ = F ( s ) / s (cf. tabela) para calcular a inversa da transformada de Laplace de:

G s = 1 s ( s 2 - 1 )

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função G ( s ) de uma forma útil pra gente:

G s = 1 s 1 s 2 - 1 = F s s

com F s = 1 s 2 - 1 .

Passo 2

Agora vamos calcular a inversa de F ( s ) usando frações parciais.

Como isso? Simples! Olha que s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 ) , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:

F s = 1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1 = A s + 1 + B s - 1

Para achar as constantes, é bem fácil: só somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original ( 1 ).

F s = A s + 1 + B s - 1 = A s - 1 + B ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) = s A + B + 1 ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Por comparação direta:

A + B = 0 B - A = 1   →   A =   - 1 / 2 B = 1 / 2  

Portanto,

F s = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1

E sua transformada inversa é

f t = - 1 2 e - t + 1 2 e t

Passo 3

Vamos agora usar a fórmula dada:

L ∫ 0 t f τ d τ = F ( s ) / s

Onde f ( τ )   = - 1 2 e - τ + 1 2 e τ e F ( s ) = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1 .

Como G s = F ( s ) / s , a sua inversa é g t = ∫ 0 t f τ d τ .

Passo 4

Calculando g ( t ) , temos:

g t = ∫ 0 t - 1 2 e - τ + 1 2 e τ d τ

g t = 1 2 e - τ + 1 2 e τ t 0 = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Resposta

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Exercício Resolvido #4

Calcule a transformada inversa da função abaixo utilizando o conceito de convolução.

H s = 1 s 2 ( s 2 - 1 )

Passo 1

Vamos encontrar a função h ( t ) , tal que

L y h s = 1 s 2 ( s 2 - 1 )

Olhando para a função, conseguimos reconhecer o seguinte produto:

L y s = 1 s 2   ̇ 1 ( s 2 - 1 )

Na primeira fração, temos uma transformada de t e na segunda, temos uma transformada de seno hiperbólico. Podemos escrever então:

L y s = L t s ∙ L s e n h t ( s )

Então, podemos dizer que:

y = t ⏟ f ( t ) * s e n h t ⏟ g ( t )

É muito importante que você escreva o produto de convolução com esse símbolo * , para não confundi-lo com o produto comum!

Para calcular esse produto, usamos sua definição:

y = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Temos

f t - τ = t t - τ = t - τ

g τ = s e n h τ

Vamos agora calcular essa integral.

Passo 2

Temos:

h t = ∫ 0 t t - τ senh ⁡ τ d τ = ∫ 0 t t - τ e τ - e - τ 2 d τ

Agora temos que resolver essa integral! Lembre-se de que estamos integrando em relação a τ .

h = t 2 ∫ 0 t e τ - e - τ d τ - 1 2 ∫ 0 t τ e τ - e - τ d τ

Fazendo a integral da direita por partes, vamos encontrar:

h = t 2 e τ + e - τ τ = o τ = t - τ e τ + e - τ - e τ - e - τ 2 τ = o τ = t

h = t ( cosh ⁡ t - 1 ) - t cosh ⁡ t - s e n h   t  

Logo, temos que:

h = s e n h   t - t

Poderíamos encontrar o resultado de outra forma também, basta utilizarmos o conceito de frações parciais.

Resposta

h ( t ) = senh ⁡ t - t

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Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.4. F s = 3 s s 2 - s - 6
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.3. F s = 2 s 2 + 3 s - 4