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Enunciado

Ciência dos Materiais - Callister - Ciência e Engenharia de Materiais. Uma Introdução- Ed: 8º - Capítulo 4.Perguntas e Problemas - Ex. 6b

Desenvolva a seguinte equação:

C_1^(' ') = ((C_1)/((C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2)))

Passo 1

A expressão desejada representa a concentração em termos de massa por volume. Ou seja, em termos simplificados temos:

C_1^(' ') = (m_1)/(V)

Agora vamos destrinchar os termos da expressão. C_1 representa a porcentagem em peso. Sendo assim, é a razão entre a massa da substância 1 e a massa total da liga.

C_1 = (m_1)/(m_1 + m_2)

Além disso, a massa específica rho_1 representa a razão entre a massa da substância escolhida pelo seu volume:

rho_1 = (m_1)/(V_1)

Passo 2

Agora vamos chegar na equação desejada!

Manipulando a expressão de C_1 temos que m_1 = C_1 ( m_1 + m_2 )

Substituindo na primeira temos que: C_1^(' ') = (C_1 ( m_1 + m_2 ))/(V)

C_1^(' ') = C_1 ((m_1 + m_2))/(V)

C_1^(' ') = (C_1)/((V)/(( m_1 + m_2 )))

Agora se dividirmos C_1 por rho_1 temos:

(C_1)/(rho_1) = (m_1)/(m_1 + m_2) x (V_1)/(m_1) = (V_1)/(( m_1 + m_2 ))

Fazendo a mesma coisa pra C_2 e rho_2 :

(C_2)/(rho_2) = (V_2)/(( m_1 + m_2 ))

Somando as duas temos que:

(C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2) = (V_1 + V_2)/(( m_1 + m_2 ))

Antes da gente seguir, devo lembrar que essa expressão é uma expressão aproximada, uma vez que não necessariamente V_1 + V_2 = V , mas essa é uma aproximação que a gente tem que fazer. Sendo assim:

(C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2) = (V)/(( m_1 + m_2 ))

Com isso podemos substituir na expressão que a gente achou lá em cima:

C_1^(' ') = (C_1)/((V)/(( m_1 + m_2 ))) = ((C_1)/((C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2)))

Finalmente temos que:

C_1^(' ') = ((C_1)/((C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2)))

Resposta

C_1^(' ') = ((C_1)/((C_1)/(rho_1) + (C_2)/(rho_2))) como queríamos demonstrar!

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