Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

Vamos multipicar os termos do denominador de usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, definimos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará um polinômio, que é armazenado em .

Rodando o programa, temos:

Após expandir o denominador de , vamos criar os vetores que servirão de entrada para , que tem a sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script ou no mesmo script onde foi calculado, vamos criar duas variáveis com os coeficientes dos polinômios, que serão a entrada de . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo das linhas onde as variáveis e foram criadas, já colocamos o comando para criar , que será armazenado em .

Uma dica: confira antes de continuar, pra ver se não digitou nada de errado. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Estando tudo certinho, podemos plotar o diagrama de Nyquist de .

Para plotar o diagrama de Nyquist, use a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist plotado, podemos utilizá-lo para avaliar a estabilidade do sistema por meio do critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

Neste exercício, o denominador de é , que tem como raízes , e . Logo, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Note a cruzinha vermelha na lateral esquerda do gráfico. Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha vermelha está fora do diagrama de Nyquist (representado pela curva azul), o diagrama não dá volta alguma em torno dela, por isso, .

Tendo e , calculamos . Temos que . Como é igual a , o sistema é estável.