Exercícios Resolvidos de Diagrama de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 200 ( s + 5 ) ( s 2 + 10 s + 50 )

Passo 1

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função n y q u i s t do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de G ( s ) e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

Antes de usar n y q u i s t , vamos entrar com G ( s ) no MATLAB usando a função t f . Lembra dela? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de G ( s ) está fatorizado em parte. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos t f , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de G ( s ) .

Passo 2

Para obter o polinômio do denominador de G ( s ) , vamos multipicar seus termos usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica s .

Na segunda linha, entramos com o denominador de G ( s ) , armazenando-o na variável d e n _ o r i g i n a l .

Na terceira linha, usamos o comando e x p a n d do MATLAB em d e n _ o r i g i n a l . Este comando multiplicará os termos de d e n _ o r i g i n a l e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em d e n _ p o l .

Rodando o programa, temos:

Passo 3

Agora que temos o polinômio do denominador de G ( s ) , podemos criar os vetores que servirão de entrada para t f . Lembrando que t f que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 20 0 . Já o polinômio do denominador é s 3 + 15 s 2 + 100 s   +   250 .

Em um novo script ou no script onde você obteve d e n _ p o l , vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 20 0 ∙ s 0 = 20 0 ∙ 1 = 20 0 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 20 0 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s 3 + 15 s 2 + 100 s   +   250 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando G = t f ( n u m ,   d e n ) para criar G ( s ) , que será armazenado na variável G .

É bom dar uma conferida em G antes de continuar. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima G no Command Window:

Estando tudo nos conformes, podemos partir para o próximo passo, que é plotar o diagrama de Nyquist.

Passo 4

Para plotar o diagrama de Nyquist, use a função n y q u i s t , que tem como sintaxe:

n y q u i s t ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando t f do MATLAB (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de G :

Passo 5

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Z = N + P

Onde:

  • Z é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
  • N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ( - 1,0 ) . N é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, N é negativo.
  • P é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, Z deve ser igual a 0 .

O P é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, G ( s ) . Para isto, é mais fácil a gente pegar o G ( s ) dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

G s = 200 ( s + 5 ) ( s 2 + 10 s + 50 )

Neste exercício, o denominador de G ( s ) é ( s + 5 ) ( s 2 + 10 s + 50 ) e tem três raízes. A primeira raiz é fácil de achar: é - 5 . Para encontrar as duas raízes restantes, do polinômio de 2 º grau s 2 + 10 s + 50 , vamos usar a função r o o t s do MATLAB, que tem como sintaxe:

r = r o o t s ( p )

Ela tem como entrada o vetor p , que contém os coeficientes do polinômio cuja raízes queremos encontrar, indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente. O comando r o o t s retorna as raízes do polinômio e as armazena em r .

No nosso exercício, queremos encontrar as raízes de s 2 + 10 s + 50 . Logo, o vetor p é:

p = 1 10 50

Vamos adicionar no nosso script do MATLAB o comando r o o t s para acharmos as raízes:

Executando o programa, temos que as raízes de s 2 + 10 s + 50 são dois números complexos:

Logo, as três raízes do denominador ( s + 5 ) ( s 2 + 10 s + 50 ) são - 5 , - 5 + 5 i e - 5 - 5 i . Quando temos zeros que são números complexos, avaliamos a parte real do número. Como a parte real das raízes - 5 + 5 i e - 5 - 5 i é negativa, , G ( s ) não tem polos positivos e P = 0 .

Passo 6

N é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo 4 :

Tem uma cruzinha vermelha na extremidade esquerda do gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas ( - 1,0 ) . Como a cruzinha está fora do diagrama de Nyquist (que é a curva azul com flechinhas), o diagrama não dá volta alguma em torno de ( - 1,0 ) , logo, N = 0 .

Tendo P e N , calculamos Z . Temos que Z = N + P = 0 + 0 = 0 . Como Z = 0 , o sistema é estável.

Resposta

Sistema estável