Circuitos Trifásicos Desequilibrados

Produzido por Alexandre Nunes
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Teoria

Agora que você já está fera em circuitos trifásicos equilibrados vamos ver como funcionam os desequilibrados.

Um circuito trifásico é considerado desequilibrado quando as fontes de tensão estão desequilibradas ou a carga é desequilibrada.

Fontes de Tensão Desequilibradas

As fontes são desequilibradas quando:

  • A amplitude das fontes não é a mesma em todas as fases.
  • Por exemplo, na figura abaixo temos uma fonte de tensão trifásica onde seus ângulos estão defasados de 120 ° e o módulo da fase A é diferente dos módulos das fases B e C :

  • As fontes não estão defasadas de 120 ° entre si:

No exemplo acima, apesar dos módulos das tensões de todas as fases serem os mesmos, os seus ângulos não estão defasados em 120 ° .

Então, se tivermos algum dos casos acima ou os dois ao mesmo tempo já podemos considerar o circuito trifásico desequilibrado independente das cargas.

Carga Desequilibrada

A carga trifásica é considerada desequilibrada quando as impedâncias das fases são diferentes. Por exemplo, na figura abaixo a impedância da fase A é diferente da impedância da fase B que é diferente da impedância da fase C .

Na maioria dos circuitos desequilibrados a fonte é equilibrada e a carga trifásica é desequilibrada, como essa aí de cima.

Em circuitos desequilibrados temos que ter cuidado, porque as relações entre tensões de linha e de fase e as relações de corrente de linha e de fase não são mais válidas!

Para resolvê-los utilizamos os métodos de análise de circuitos que já conhecemos, como a análise de malha e análise nodal. Então vem comigo! Vamos fazer um exemplo.

No circuito abaixo, temos uma carga em triângulo desequilibrada alimentada por uma fonte trifásica equilibrada. Considerando V a b = 220 ∠ 0 °   V e sequência positiva, vamos determinar as correntes de linha I A , I B e I C .

Passo 1:

O primeiro passo é determinar as correntes de fase I A B , I B C e I C A . Vamos calculá-las utilizando a famosa lei de Ohm:

I A B = V a b 8 + j 6  

I B C = V b c 15 - j 10

I C A = V c a 20

Além disso, o enunciado disse que a fonte é equilibrada com V a b = 220 ∠ 0 °   V e que a sequência é positiva. Então,

V a b = 220 ∠ 0 °   V  

V b c = 220 ∠ - 120 °   V  

V c a = 220 ∠ 120 °   V  

Partiu então calcular as correntes de fase:

I A B = 220 ∠ 0 ° 8 + j 6

I A B = 22 ∠ - 36,87 °   A

I B C = 220 ∠ - 120 ° 15 - j 10

I B C = 12,2 ∠ - 86,31 °   A

I C A = 220 ∠ 120 ° 20

I C A = 11 ∠ 120 °   A

Passo 2:

Agora que temos as correntes de fase, vamos encontrar as correntes de linha aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff em cada nó da carga trifásica.

Para o nó A , temos:

I A + I C A = I A B

I A = I A B - I C A

I A = ( 22 ∠ - 36,87 ° ) - ( 11 ∠ 120 ° )

I A = 32,4 ∠ - 44,53 °   A

Já para o nó B :

I B + I A B = I B C

I B = I B C - I A B

I B = ( 12,2 ∠ - 86,31 ° ) - ( 22 ∠ - 36,87 ° )

I B = 16,85 ∠ 176,51 °   A

Por fim o nó C :

I C + I B C = I C A

I C = I C A - I B C

I C = ( 11 ∠ 120 ° ) - ( 12,2 ∠ - 86,31 ° )

I C = 22,6 ∠ 106,15 °   A

Pronto! Encontramos as correntes de linha do circuito. Como podemos ver elas são bem diferentes umas das outras e se multiplicarmos as correntes de fase por 3 não encontraremos o valor correto.

Por exemplo:

I A = 32,4 ∠ - 44,53 °   A

Seu módulo é

I A = 32,4   A

Se multiplicarmos por 3 a corrente de fase não encontraremos o mesmo valor:

3 I A B = 3 × 22 = 38,1   A

Então não podemos utilizar essas relações em circuitos trifásicos desequilibrados!

Se liga na dica: se o circuito trifásico for em triângulo ( ∆ ) , como no exemplo acima, é mais fácil resolvê-lo utilizando a lei dos nós. Assim como se o circuito for em estrela ( Y ) é mais fácil resolvê-lo utilizando análise de malhas.

Potência

Assim como não podemos utilizar as relações entre correntes e tensões de linha e de fase, também não podemos utilizar as fórmulas de potência que conhecemos para circuitos trifásicos equilibrados em circuitos trifásicos desequilibrados.

Por exemplo, para calcular a potência complexa total absorvida pela carga, não podemos calcular a de uma fase e multiplicar por três, temos que calcular a potência de cada fase separadamente e somar depois.

No nosso exemplo seria assim:

S T = S A + S B + S C

Onde,

S A = Z A B I A B 2 = Z A B I A B 2

S A = 8 + j 6 × 22 2

S A = 3872 + j 2904   V A

S B = Z B C I B C 2 = Z B C I B C 2

S B = 15 - j 10 × 12,2 2

S B = 2232,6 - j 1488,4   V A

S C = Z C A I C A 2 = Z C A I C A 2

S C = 20 × 11 2  

S C = 2420   V A

Então, somando a potência complexa de cada fase determinamos a potência complexa total:

S T = 3872 + j 2904 + 2232,6 - j 1488,4 + ( 2420 )

S T = 8524,6 + j 1415,6   V A

Agora é fazer os exercícios para praticar!

Potência

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o sistema triângulo-triângulo mostrado na figura abaixo. Adote Z 1 = 8 + j 6   Ω , Z 2 = 4,2 - j 2,2   Ω e Z 3 = 10   Ω .

( a ) Determine as correntes de fase I A B , I B C e I C A

( b ) Calcule as correntes de linha I a A , I b B e I c C

Passo 1

O circuito acima é desbalanceado porque as impedâncias possuem valores diferentes. Logo, para calcularmos as correntes de fase, vamos utilizar a Lei de Ohm.

Calculando I A B :

I A B = V a b Z 1 = 240 ∠ 0 ° 8 + j 6   = 240 ∠ 0 ° 10 ∠ 36,9 °

I A B = 24 ∠ - 36,9 °   A

I A B = 19,2 - j 14,4   A

Calculando I B C :

I B C = V b c Z 2 = 240 ∠ 120 ° 4,2 - j 2,2     = 240 ∠ 120 ° 4,74 ∠ - 27,6 °

I B C = 50,62 ∠ 147,64 °   A

I B C = - 42,76 + j 27,1   A

Calculando I C A :

I C A = V c a Z 3 = 240 ∠ - 120 ° 10    

I C A = 24 ∠ - 120 °   A

I C A = - 12 - j 20,8   A

Passo 2

Agora, calculando as correntes de linha, utilizaremos a Lei dos Nós.

Para o nó A :

I a A + I C A = I A B

I a A = I A B - I C A

I a A = 19,2 - j 14,4 - - 12 - j 20,8

I a A = 31,2 + j 6,4   A

Para o nó B :

I b B + I A B = I B C

I b B = I B C - I A B

I b B = - 42,76 + j 27,1 - 19,2 - j 14,4

I b B = - 61,96 + j 41,5   A

Para o nó C :

I c C + I B C = I C A

I c C = I C A - I B C

I c C = - 12 - j 20,8   - - 42,76 + j 27,1

I c C = 30,76 - j 47,9   A

Resposta

a   I A B = 19,2 - j 14,4   A

                          I B C = - 42,76 + j 27,1   A

            I C A = - 12 - j 20,8   A

b     I a A = 31,2 + j 6,4   A

                              I b B = - 61,96 + j 41,5   A

                    I c C = 30,76 - j 47,9   A

Exercício Resolvido #2

Uma fonte trifásica com tensão de linha 240   V   R M S e sequência de fase positiva tem uma carga conectada em triângulo desequilibrada, conforme indicado na figura abaixo. Determine as correntes de fase e a potência complexa total.

Passo 1

Primeiro, vamos determinar as tensões. Como foi dito que a sequência de fase é positiva e foi dado o valor do módulo da tensão de linha:

V A B = 240 ∠ 0 °   V

V B C = 240 ∠ - 120 °   V

V C A = 240 ∠ 120 °   V

Passo 2

Para calcular as correntes de fase, vamos utilizar a Lei de Ohm:

I A B = 240 ∠ 0 ° j 25 = 9,6 ∠ - 90 °   A

I B C = 240 ∠ - 120 ° 30 ∠ 30 ° = 8 ∠ - 150 °   A

I C A = 240 ∠ 120 ° 40 = 6 ∠ 120 °   A

Passo 3

A potência complexa em cada fase será:

S A B = Z A B × I A B 2

S A B = j 25 × 9,6 2

S A B = 25 ∠ 90 ° × 92,16

S A B = 2304 ∠ 90 °   V A  

S A B = j 2304   V A

S B C = Z B C × I B C 2

S B C = ( 30 ∠   30 ° ) × 8 2

S B C = 30 ∠   30 ° × 64

S B C = 1920 ∠ 30 °   V A  

S B C = 1662,8 + j 960   V A  

S C A = Z C A × I C A 2

S C A = ( 40 ) × 6 2

S C A = 40 × 36

S C A = 1440   V A  

Passo 4

Agora que calculamos a potência complexa em cada uma das fases, para calcularmos a potência complexa total, temos que somar cada parcela:

S T O T A L = S A B + S B C + S C A

S T O T A L = j 2304 + 1662,8 + j 960 + 1440

S T O T A L = 3102,8 + j 3264   V A

Resposta

I A B = 9,6 ∠ - 90 °   A

I B C = 8 ∠ - 150 °   A

I C A = 6 ∠ 120 °   A

S T O T A L = 3102,8 + j 3264   V A

Exercício Resolvido #3

Um circuito estrela-estrela quadrifilar possui

V a n = 120 ∠ 120 ° ,             V b n = 120 ∠ 0 ° ,     V c n = 120 ∠ - 120 °

Se as impedâncias forem

Z A N = 20 ∠ 60 ° ,                 Z B N = 30 ∠ 0 ° ,                 Z C N = 40 ∠ 30 °

determine a corrente na linha do neutro.

Passo 1

Temos um circuito Y - Y quadrifilar. Isso quer dizer que a ligação entre a fonte e a carga é feita por quatro fios, ou seja, que o neutro da fonte está conectado ao neutro da carga, como podemos ver no circuito abaixo:

Passo 2

Queremos determinar a corrente de neutro I N . Para isso, vamos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff em um dos nós:

I N + I A + I B + I C = 0

Então, primeiro temos que calcular a corrente de linha de cada fase.

Da fase A , temos:

I A = V a n Z A N

I A = 120 ∠ 120 ° 20 ∠ 60 °

I A = 6 ∠ 60 °   A

Passo 3

Fazendo o mesmo para as outras fases, temos:

Para fase B :

I B = V b n Z B N

I B = 120 ∠ 0 ° 30 ∠ 0 °

I B = 4 ∠ 0 °   A

Para fase C :

I C = V c n Z C N

I C = 120 ∠ - 120 ° 40 ∠ 30 °

I C = 3 ∠ - 150 °   A

Passo 4

Substituindo pelos valores que encontramos para as correntes de cada linha, temos que a corrente de neutro será:

I N + I A + I B + I C = 0

I N + 6 ∠ 60 ° + 4 ∠ 0 ° + 3 ∠ - 150 ° = 0

I N + 3 + j 5,196 + 4 + - 2,598 - j 1,5 = 0

I N + 4,402 + j 3,696 = 0

I N + 5,75 ∠ 40 °   = 0

I N = - 5,75 ∠ 40 °   A

I N = 5,75 ∠ 220 °   A

Resposta

I N = 5,75 ∠ 220 °   A

Exercício Resolvido #4

Uma fonte trifásica conectada em estrela equilibrada com V P = 210   V   R M S alimenta uma carga trifásica conectada em estrela com impedância por fase Z A = 80   Ω , Z B = 60 + j 90   Ω e Z C = j 80   Ω . Calcule as potências de linha e a potência complexa total liberada para a carga. Suponha que os neutros estejam interligados.

Passo 1

Como nada foi dito, assumimos que a sequência da fonte trifásica é positiva, ou seja, sequência A B C . Logo:

V a n = 210 ∠ 0 °   V

V b n = 210 ∠ - 120 °   V

V c n = 210 ∠ 120 °   V

O circuito descrito no enunciado é esse aqui:

Passo 2

Para calcular as potências de linha e potência complexa total, precisaremos calcular as correntes. Logo, utilizando a Lei de Ohm:

I A = V a n Z A

I A = 210 ∠ 0 °   80

I A = 2,625 ∠ 0 °   A

I B = V b n Z B

I B = 210 ∠ - 120 °   60 + j 90

I B = 210 ∠ - 120 °   108,2 ∠ 56,31 °

I B = 1,94 ∠ - 176,31 °   A

I C = V c n Z C

I C = 210 ∠ 120 °   j 80

I C = 210 ∠ 120 °   80 ∠ 90 °

I C = 2,625 ∠ 3 0 °   A

Passo 3

Agora vamos para o cálculo das potências de linha. Primeiro temos que lembrar da fórmula:

S = V × I *

Lembrando que na fórmula utilizamos o conjugado da corrente e, por isso, devemos trocar o sinal do ângulo dela.

Logo:

S A = V a n × I A *

S A = 210 ∠ 0 ° × 2,625 ∠ 0 °  

S A = 551,25   V A  

S B = V b n × I B *

S B = 210 ∠ - 120 ° × 1,94 ∠ + 176,31 °

S B = 407,4 ∠ 56,31 °   V A  

S B = 226 + j 339   V A

S C = V c n × I C *

S C = 210 ∠ 120 ° × 2,625 ∠ - 3 0 °

S C = 551,25 ∠ 9 0 °   V A  

S C = j 551,25   V A

Passo 4

A potência complexa total será a soma de cada parcela calculada no passo anterior:

S T O T A L = S A + S B + S C

S T O T A L = 551,25 + 226 + j 339 + j 551 , 2 5  

  S T O T A L = 777,25 + j 890,25   V A

Resposta

S A = 551,25   V A  

S B = 226 + j 339   V A

S C = j 551,25   V A

S T O T A L = 777,25 + j 890,25   V A

Exercício Resolvido #5

Uma fonte trifásica com sequência A B C , com E A B = 220 ∠ 0 °   V na referência tem uma carga ligada em delta não equilibrada, conforme a figura abaixo. Determine:

( a ) As correntes de fase

b As correntes de linha

Passo 1

O enunciado diz que a sequência é A B C . Logo, conseguimos descobrir as outras tensões:

E A B = 220 ∠ 0 °   V

E B C = 220 ∠ - 120 °   V

E C A = 220 ∠ 120 °   V

Passo 2

Agora já podemos calcular as correntes de fase:

I A B = E A B Z A B

I A B = 220 ∠ 0 ° 25 ∠ 90 °

I A B = 8,8 ∠ - 90 °   A

I A B = - j 8,8   A

I B C = E B C Z B C

I B C = 220 ∠ - 120 ° 15 ∠ 30 °

I B C = 14,7 ∠ - 150 °   A

I B C = - 12,73 - j 7,35   A

I C A = E C A Z C A

I C A = 220 ∠ 120 ° 20

I C A = 11 ∠ 120 °   A

I C A = - 5,5 + j 9,53   A

Passo 3

Para calcular as correntes de linha, utilizaremos a Lei dos Nós. Para isso, precisamos saber em qual sentido estão as correntes de fase em cada carga do delta.

Observando o sentido das setas, conseguimos descobrir onde é o positivo e o negativo. Como a corrente flui do positivo para o negativo, conseguimos descobrir o sentido das correntes de fase:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular as correntes de linha.

Para o nó A :

I A + I C A = I A B

I A = I A B - I C A

I A = - j 8,8 - ( - 5,5 + j 9,53 )

I A = 5,5 - j 18,33   A

I A = 19,14 ∠ - 73,3 °   A

Para o nó B :

I B + I A B = I B C

I B = I B C - I A B

I B = - 12,73 - j 7,35 - ( - j 8,8 )

I B = - 12,73 + j 1,45   A

I B = 12,81 ∠ 173,5 °   A

Para o nó C :

I C + I B C = I C A

I C = I C A - I B C

I C = - 5,5 + j 9,53 - ( - 12,73 - j 7,35 )

I C = 7,23 + j 16,88   A

I C = 18,36 ∠ 66,81 °   A

Resposta

a   I A B = 8,8 ∠ - 90 °   A ;   I B C = - 12,73 - j 7,35   A ;   I C A = - 5,5 + j 9,53   A

b   I A = 19,14 ∠ - 73,3 °   A ;   I B = 12,81 ∠ 173,5 °   A ;   I C = 18,36 ∠ 66,81 °   A

Exercício Resolvido #6

Determine as correntes de linha para o circuito trifásico abaixo:

Seja

V a = 110 ∠ 0 ° ,                 V b = 110 ∠ - 120 ° ,     V c = 110 ∠ 120 °   V

Passo 1

Para esse circuito vamos utilizar análise de malhas para determinar as correntes de linha. Para isso, vamos escolher os sentidos para as correntes de malha I 1 e I 2 :

Passo 2

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff na malha 1 , temos:

110 ∠ - 120 ° - 110 ∠ 0 ° + 80 + j 50 I 1 + 20 + j 30 I 1 - I 2 = 0

100 + j 80 I 1 - 20 + j 30 I 2 = 110 ∠ 0 ° - 110 ∠ - 120 °

100 + j 80 I 1 - 20 + j 30 I 2 = 110 - ( - 55 - j 95,26 )

100 + j 80 I 1 - 20 + j 30 I 2 = 110 + 55 + j 95,26

100 + j 80 I 1 - 20 + j 30 I 2 = 165 + j 95,26       ( i )

Passo 3

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff na malha 2 , temos:

110 ∠ 120 ° - 110 ∠ - 120 ° + 20 + j 30 I 2 - I 1 + 60 - j 40 I 2 = 0

- 20 + j 30 I 1 + 80 - j 10 I 2 = 110 ∠ - 120 ° - 110 ∠ 120 °

- 20 + j 30 I 1 + 80 - j 10 I 2 = - 55 - j 95,26 - ( - 55 + j 95,26 )

Chegamos na equação final:

- 20 + j 30 I 1 + 80 - j 10 I 2 = - j 190,52       ( i i )

Passo 4

Temos duas equações e duas incógnitas. Primeiro, vamos isolar I 1 na primeira equação:

I 1 = 165 + j 95,26 + 20 + j 30 I 2 100 + j 80

I 1 = 190,52 ∠ 30 ° 128,06 ∠ 38,66 ° + 36,05 ∠ 56,31 ° 128,06 ∠ 38,66 ° I 2

I 1 = 1,488 ∠ - 8,66 ° + ( 0,281 ∠ 17,65 ° ) I 2

Agora, vamos substituir na equação final encontrada no passo 3:

- 20 + j 30 ( 1,488 ∠ - 8,66 ° + 0,281 ∠ 17,65 ° I 2 ) + 80 - j 10 I 2 = - j 190,52

( - 36,05 ∠ - 123,69 ° ) ( 1,488 ∠ - 8,66 ° + 0,281 ∠ 17,65 ° I 2 ) + 80 - j 10 I 2 = - j 190,52

- 53,65 ∠ - 132,35 ° + 10,13 ∠ - 106,04 ° I 2 + 80 - j 10 I 2 = - j 190,52

- 2,8 - j 9,736 + 80 - j 10 I 2 = - j 190,52 + 36,14 + j 39,65

I 2 = 36,14 - j 150,87 77,2 - j 19,736

I 2 = 155,14 ∠ - 76,52 ° 79,68 ∠ - 14,34 °

I 2 = 1,947 ∠ - 62,18 °   A

Passo 5

Substituindo o valor que encontramos para I 2 na equação abaixo, temos:

I 1 = 1,488 ∠ - 8,66 ° + ( 0,281 ∠ 17,65 ° ) I 2

I 1 = 1,488 ∠ - 8,66 ° + ( 0,281 ∠ 17,65 ° ) ( 1,947 ∠ - 62,18 ° )

I 1 = 1,488 ∠ - 8,66 ° + 0,547 ∠ - 44,53 °

I 1 = 1,471 - j 0,224 + 0,390 - j 0,384

I 1 = 1,861 - j 0,608   A

I 1 = 1,958 ∠ - 18,09 °   A

Passo 6

Analisando o circuito, temos que:

I a = I 1

I b = I 2 - I 1

I c = - I 2

Portanto, as correntes de linha serão:

I a = 1,958 ∠ - 18,09 °   A

I b = ( 1,947 ∠ - 62,18 °   ) - ( 1,861 - j 0,608 )

I b = ( 0,908 - j 1,722   ) - ( 1,861 - j 0,608 )

I b = - ( 0,952 + j 1,113 )   A

I b = - 1,465 ∠ 49,45 °   A

I b = 1,465 ∠ - 130,55 °   A

I c = - 1,947 ∠ - 62,18 °

I c = 1,947 ∠ 117,82 °   A

Resposta

I a = 1,958 ∠ - 18,09 °   A

I b = 1,465 ∠ - 130,55 °   A

I c = 1,947 ∠ 117,82 °   A

Exercício Resolvido #7

A fonte do circuito abaixo está equilibrada e apresenta uma sequência de fases positiva. Se f = 60   H z , determine V A N , V B N e V C N .

Passo 1

Primeiro, vamos determinar as impedâncias correspondentes ao capacitor e ao indutor.

Z A N = j 1 2 π f 0,2 × 10 - 3

Z A N = - j 13,26   Ω

Z C N = j 2 π f 10 × 10 - 3

Z C N = j 3,77   Ω

Além disso, como a sequência de fase é positiva, as tensões na fonte são:

  V a n = 100 ∠ 0 °   V

V b n = 100 ∠ - 120 °   V

V c n = 100 ∠ 120 °   V

Então, temos o seguinte circuito:

Passo 2

Para esse circuito vamos utilizar análise de malhas para determinar as correntes de linha. Para isso, vamos escolher os sentidos para as correntes de malha I 1 e I 2 :

Passo 3

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff na malha 1 , temos:

100 ∠ - 120 ° - 100 ∠ 0 ° + - j 13,26 I 1 + 40 I 1 - I 2 = 0

40 - j 13,26 I 1 - 40 I 2 = 100 ∠ 0 ° - 100 ∠ - 120 °

40 - j 13,26 I 1 - 40 I 2 = 100 - ( - 50 - j 86,6 )

40 - j 13,26 I 1 - 40 I 2 = 150 + j 86,6       ( i )

Passo 4

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff na malha 2 , temos:

100 ∠ 120 ° - 100 ∠ - 120 ° + 40 I 2 - I 1 + j 3,77 I 2 = 0

- 40 I 1 + 40 + j 3,77 I 2 = 100 ∠ - 120 ° - 100 ∠ 120 °

- 40 I 1 + 40 + j 3,77 I 2 = ( - 50 - j 86,6 ) - ( - 50 + j 86,6 )

- 40 I 1 + 40 + j 3,77 I 2 = - j 173,2       ( i i )

Passo 5

Temos duas equações e duas incógnitas. Primeiro, vamos isolar I 1 na primeira equação:

40 - j 13,26 I 1 - 40 I 2 = 150 + j 86,6

I 1 = 150 + j 86,6 + 40 I 2 40 - j 13,26

I 1 = 150 + j 86,6 40 - j 13,26 + 40 40 - j 13,26 I 2

I 1 = 173,2 ∠ 30 ° 42,14 ∠ - 18,34 ° + 40 42,14 ∠ - 18,34 ° I 2

I 1 = 4,1 ∠ 48,34 ° + ( 0,95 ∠ 18,34 ° ) I 2

Agora, vamos substituir na segunda equação:

- 40 I 1 + 40 + j 3,77 I 2 = - j 173,2

- 40 4,1 ∠ 48,34 ° + 0,95 ∠ 18,34 ° I 2 + 40 + j 3,77 I 2 = - j 173,2

164 ∠ - 131,66 ° + 38 ∠ - 161,66 ° I 2 + 40 + j 3,77 I 2 = - j 173,2

- 36,07 - j 11,95 + 40 + j 3,77 I 2 = - j 173,2 + 109,01 + j 122,5

I 2 = 109,01 - j 50,7 3,93 - j 8,18

I 2 = 120,22 ∠ - 24,94 ° 9,07 ∠ - 64,33 °

I 2 = 13,25 ∠ 39,39 °   A

I 2 = 10,24 + j 8,41   A

Passo 6

Substituindo o valor que encontramos para I 2 na equação abaixo, temos:

I 1 = 4,1 ∠ 48,34 ° + ( 0,95 ∠ 18,34 ° ) I 2

I 1 = 4,1 ∠ 48,34 ° + ( 0,95 ∠ 18,34 ° ) ( 13,25 ∠ 39,39 ° )

I 1 = 4,1 ∠ 48,34 ° + 12,59 ∠ 57,73 °

I 1 = 2,72 + j 3,06 + 6,72 + j 10,64

I 1 = 9,44 + j 13,7   A

I 1 = 16,64 ∠ 55,43 °   A

Passo 7

Aplicando a lei de Ohm podemos encontrar as tensões em cada fase na carga.

V A N = Z A N I 1

V A N = ( 13,26 ∠ - 90 �� ) ( 16,64 ∠ 55,43 ° )

V A N = 220,65 ∠ - 34,57 °   V

V B N = Z B N ( I 2 - I 1 )

V B N = ( 40 ) ( 10,24 + j 8,41 - 9,44 - j 13,7 )

V B N = 40 × ( 0,8 - j 5,29 )

V B N = 32 - j 211,6   V

V B N = 214,0 ∠ - 81,40 °   V

V C N = Z C N - I 2

V C N = ( 3,77 ∠ 90 ° ) ( - 13,25 ∠ 39,39 ° )

V C N = 49,95 ∠ - 50,61 °   V

Resposta

V A N = 220,65 ∠ - 34,57 °   V

V B N = 214,0 ∠ - 81,40 °   V

V C N = 49,95 ∠ - 50,61 °   V

Exercício Resolvido #8

Um sistema trifásico quadrifilar operando com tensão de linha igual a 208   V é mostrado na figura. As tensões da fonte estão equilibradas. A potência absorvida pela carga resistiva conectada em estrela é medida pelo método dos três wattímetros. Calcule:

(a) A tensão para o neutro.

(b) As correntes I 1 , I 2 , I 3 , e I n .

(c) As leituras dos wattímetros.

(d) A potência total absorvida pela carga

Passo 1

Na letra (a) ele quer apenas a tensão de fase que é a tensão para o neutro. Como o enunciado nos dá a tensão de linha, então:

V f = V L 3 = 208 3 = 120   V

Passo 2

Na letra (b) vamos começar assumindo que a sequência é positiva pois não foi dito nada no enunciado sobre a sequência de fase.

Vamos calcular cada corrente separadamente pois é um sistema desequilibrado por causa das diferentes resistências na carga.:

I 1 = 120 ∠ 0 ° 48 = 2.5 ∠ 0 °   A  

I 2 = 120 ∠ - 120 ° 40 = 3 ∠ - 120 °   A  

I 3 = 120 ∠ 120 ° 60 = 2 ∠ 120 °   A  

Para a corrente de neutro vamos fazer uma análise nodal e passar todas as correntes para sua forma retangular para facilitar nossa soma:

- I n = I 1 + I 2 + I 3 = 2.5 + 3 - 0.5 - j 3 2 + 2 - 0.5 + j 3 2

I n = j 3 2 = j 0.866

ou

I n = 0.866 ∠ 90 °   A

Passo 3

Agora na letra C, queremos as leituras dos Wattímetros que nada mais é do que calcular as potências em cada fase:

P 1 = I 1 2 R 1 = ( 2.5 ) 2 ( 48 ) = 300 W

P 2 = I 2 2 R 2 = ( 3 ) 2 ( 40 ) = 360 W

P 3 = I 3 2 R 3 = ( 2 ) 2 ( 60 ) = 240 W

Passo 4

Para a potência total, basta somar todas as potências calculadas no passo 3:

P T = P 1 + P 2 + P 3 = 900 W

Resposta

(a) V f = 120   V

(b) I 1 = 2.5 ∠ 0 °   A  

I 2 = 3 ∠ - 120 °   A  

I 3 = 2 ∠ 120 °   A  

I n = 0.866 ∠ 90 °   A

(c) P 1 = 300 W

P 2 = 360 W

P 3 = 240 W

(d) P T = 900 W

Exercício Resolvido #9

Conforme indicado na figura, uma linha trifásica quadrifilar com tensão de fase igual a 120 V r m s e sequência de fase positiva alimenta uma carga de motor equilibrada a 260 k V A com F P = 0.85 ( a t r a s a d o ) . A carga do motor está conectada a três linhas principais indicadas por a , b e c . Além disso, lâmpadas incandescentes (FP unitário) são ligadas como segue: 24 k W da linha c para o neutro, 15 k W da linha b para o neutro e 9 k W da linha c para o neutro.

(a) se forem dispostos três wattímetros para medir a potência em cada linha, calcule a leitura de cada medidor.

(b) determine a magnitude da corrente na linha do neutro.

Passo 1

Calma lá que essa questão é gigante e parece difícil por causa desse estranho aí, mas na real é bem tranquila!

Vamos começar calculando a potência ativa do motor já que ele só nos deu a potência aparente (em kVA):

P T = S c o s θ = 260 × 0.85 = 221 k W

Agora com isso, podemos achar a potência por fase que precisamos para poder achar a potência total de cada fase (que é exatamente o que o wattímetro vai ler, e daí já matamos a primeira questão).

P f = 1 3 P T = 73.67 k W

Então, cada wattímetro vai ler:

W a = 73.67 + 24   = 97.67 k W

W b = 73.67 + 15   = 88.67 k W

W c = 73.67 + 9   = 82.87 k W

Passo 2

Para a corrente de neutro, o motor não contribui com corrente de neutro pois é equilibrado. Então vamos calcular cada corrente utilizando a Primeira Lei de Ohm:

I a = 24000 120 = 200   A

I b = 15000 120 = 125   A

I c = 9000 120 = 75   A

Vamos calcular as correntes com seus respectivos ângulos (sequência de fase positiva)

I a = 200 ∠ 0 °   A

I b = 125 ∠ - 120 °   A

I c = 75 ∠ 120 °   A

Passo 3

Agora, a corrente de neutro será a soma de tudo, então, pra isso, vamos passar tudo para a forma retangular:

- I n = I a + I b + I c

- I n = 200 + 125 - 0.5 - j 3 2 + 75 - 0.5 + j 3 2

- I n = 100 - j 43.3   A

I n = 108.97   A

Resposta

(a) W a = 73.67 + 24   = 97.67 k W

W b = 73.67 + 15   = 88.67 k W

W c = 73.67 + 9   = 82.87 k W

(b) I n = 108.97   A

Exercício Resolvido #10

Na figura, dois wattímetros estão conectados apropriadamente à carga desequilibrada alimentada por uma fonte equilibrada tal que V a b = 208 ∠ 0 °   V com sequência de fases positiva.

(a) Determine a leitura de cada wattímetro.

(b) Calcule a potência aparente total absorvida pela carga.

Passo 1

Vamos separar as tensões na sequência de fases positiva:

V a b = 208 ∠ 0 °  

V b c = 208 ∠ - 120 °  

V c a = 208 ∠ 120 °  

Daí, vamos calcular as correntes de cada fase pra poder depois calcular a potência de cada fase e consequentemente as leituras de cada wattímetro.

I A B = V a b Z A B = 208 ∠ 0 °   20 = 10.4 ∠ 0 °   A

I B C = V b c Z B C = 208 ∠ - 120 °   10 2 ∠ - 45 ° = 14.708 ∠ - 75 °   A

I C A = V c a Z C A = 208 ∠ 120 °   13 ∠ 22.62 ° = 16 ∠ 97.38 °   A

Vamos calcular agora cada corrente de linha (das fases A e B que é o que o enunciado pede):

Fase A:

I a = I A B - I C A = 10.4 ∠ 0 °   - 16 ∠ 97.38 °

I a = 10.4 + 2.055 - j 15.867   ⇒ 20.171 ∠ - 51.87 °

Fase C:

I c = I C A - I B C = 16 ∠ 97.38 °   - 14.708 ∠ - 75 °

I c = 30.64 ∠ 101.03 °

Calculando as potências:

P 1 = V a b I a   c o s ( θ V a b - θ I a )

P 1 = 208 ( 20.171 ) c o s ( 0 ° + 51.87 °   ) = 2590   W

P 2 = V c b I c   c o s ( θ V c b - θ I c )

Mas, como V c b =   - V b c = 208 ∠ 60 ° , então,

P 2 = 208 ( 30.64 ) c o s ( 60 ° - 101.03 °   ) = 4808   W

Passo 2

Agora, para a potência total, basta somar tudo e depois achar cada potência (ativa, reativa e, então, aparente)

P T = P 1 + P 2 = 7398.17   W

Q T = 3 ( P 2 - P 1 ) = 3840.25   V A r

S T = P T + J Q T = 7398.17   + j 3840.25   V A

S T = S T = 8335   V A

Resposta

(a) P 1 = 2590   W

P 2 = 4808   W

(b) S T = S T = 8335   V A

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