Introdução aos Circuitos Magnéticos
Teoria
Introdução
Está lembrado da lei de Ampère? Então, ela é a lei que rege a produção de um campo magnético através da circulação de corrente por um condutor e é escrita assim:
Onde é a intensidade do campo magnético, medida em ampères-espiras por metro, que é produzido pela corrente .
Para a gente entender melhor o que essa equação quer dizer, vamos a aplicá-la ao exemplo abaixo:
Esse exemplo mostra um núcleo retangular constituído por um material ferromagnético com um enrolamento de espiras de fio enrolados em uma de suas pernas.
Como o núcleo é composto por um material ferromagnético, podemos considerar que todo o campo magnético produzido pela corrente ficará contido no núcleo, de modo que na lei de Ampère o caminho de integração será o comprimento médio no núcleo .
Já a corrente líquida é dada pelo produto do número de espiras com a corrente que circula pelo enrolamento. Podemos escrever a lei de Ampère assim:
Lembrando que estamos escrevendo com subíndice C, porque significa Core de Núcleo, ou seja, tudo que circula pelo núcleo colocamos C.
Então, a intensidade do campo magnético no núcleo, devido à corrente, é:
Em circuitos magnéticos o produto é a força magnetomotriz , ou seja:
Permeabilidade Magnética
A gente relaciona a intensidade de campo magnético e a densidade de fluxo magnético através de uma propriedade do material em que se encontra o campo magnético chamada de permeabilidade magnética .
Para você não se enrolar com esses nomes parecidos, vou fazer um esquema abaixo com o que cada letra representa e suas respectivas unidades no :
No gráfico acima percebemos que existem diferentes curvas que representam a variação da Densidade de fluxo magnético B com a variação da Intensidade de fluxo magnético H, pois com a mudança do material no qual o fluxo percorre, a permeabilidade magnética varia. Por exemplo, vemos que a variação é maior no tipo de material Chapa de Aço (Sheet Steel) do que no material Ferro fundido (Cast Iron).
Normalmente a permeabilidade dos materiais magnéticos é dada em termos de , que é o seu valor relativo ao valor da permeabilidade do vácuo , ou seja:
Onde a permeabilidade do vácuo é:
Nas máquinas rotativas e transformadores atuais, varia de a Como a permeabilidade magnética é maior que a do ar, o fluxo “prefere” passar pelo núcleo e tem pouca dispersão pelo ar.
Fluxo Magnético
O fluxo magnético que atravessa uma superfície é definido assim:
Mas, podemos considerar que toda a densidade de fluxo magnético será a mesma em uma seção reta de um circuito magnético.
Então, a gente pode jogar essa integral para o espaço e utilizar essa simples equação simples abaixo:
Onde:
Relutância e Permeância
A partir da equação:
No núcleo, podemos escrever a densidade de fluxo magnético assim:
Vimos que a força magnetomotriz pode ser escrita da seguinte forma:
Então, usando a relação entre e :
Substituindo o valor de e escrevendo a em termos do fluxo :
O termo entre parênteses, que multiplica o fluxo na equação, é chamado de relutância do núcleo, ou seja:
Então, temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:
Logo, para qualquer circuito magnético, o fluxo pode ser calculado por:
Para entender melhor esses conceitos é só parar para comparar com o que já sabemos. Podemos fazer um paralelo entre a Força Magnetomotriz com a Tensão , as duas são os elementos que forçam a circulação do fluxo magnético no caso de circuitos magnéticos e de corrente no caso de circuitos elétricos. Por outro lado, a relutância se contrapõe a essa circulação de fluxo magnético, assim como a resistência nos circuitos elétricos.
Facilitou, né? Saca essa tabelinha:
Lembra que o inverso da resistência elétrica era a condutância, no caso do inverso da relutância, também temos um termo que é chamado de permeância :
Agora vamos fazer um exemplo numérico para você ver como funciona essa sopa de letras, partiu?!
Exemplo
Vamos supor que a área da seção reta do núcleo é , o caminho médio é de , ele possui espiras enroladas. A permeabilidade relativa do material do núcleo é e a corrente que circula pelas espiras é igual a 7,45mA. Calcular a relutância do núcleo, o fluxo e o campo magnético.
Passo 1:
O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.
Além disso, foi dado a permeabilidade relativa . Logo, a permeabilidade do núcleo é
Passo 2:
Podemos encontrar o valor da Intensidade do campo magnético através da igualdade que já conhecemos:
Passo 3:
Como já conhecemos a permeabilidade magnética do núcleo , podemos calcular a Densidade de fluxo magnético :
Substituindo os valores que já sabemos:
Passo 4:
Como estamos considerando que a densidade de fluxo magnético é a mesma por toda a área da seção:
Passo 5:
Em um circuito magnético, a relutância pode ser calculada como a divisão entre a Força magnetomotriz e o fluxo magnético:
E como sabemos, a Força magnetomotriz é igual a:
Logo:
Substituindo os valores já encontrados:
Encontramos:
Pronto!
Agora é fazer os exercícios para fixar a matéria!
Fluxo Magnético ϕ
Relutância ( R ) e Permeância ( P )
Exemplo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
O circuito magnético abaixo possui área da seção reta do núcleo igual a , seu caminho médio é de , ele possui espiras enroladas, a permeabilidade relativa do material do núcleo é e o circuito magnético está operando com . Determine:
a relutância do núcleo.
o fluxo.
a corrente.
Passo 1
O primeiro cuidado que temos que tomar é em relação às unidades. Temos que passar tudo o que está em centímetros para metros.
Além disso, foi dado a permeabilidade relativa do nucleo . Logo, a permeabilidade do núcleo é
Passo 2
A relutância do núcleo é calculada pela fórmula abaixo:
Logo, substituindo os valores:
Passo 3
Para encontrarmos o fluxo vamos utilizar a fórmula abaixo:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:
Então, substituindo os valores que calculamos:
Como
A corrente será
Resposta
Exercício Resolvido #2
Livro Chapman, p.24, Exemplo 1.4
Encontre a permeabilidade relativa de um material ferromagnético típico, cuja curva de magnetização está mostrada abaixo, nos pontos e
Passo 1
A permeabilidade magnética é a propriedade do material em que se encontra o campo magnético que relaciona a intensidade de campo magnético e a densidade de fluxo magnético .
Logo, podemos calculá-la assim:
Como, , a gente determina a permeabilidade relativa fazendo:
Passo 2
Para , utilizando o gráfico, vemos que . Portando, a permeabilidade magnética será:
E a permeabilidade relativa será:
Passo 3
Para , utilizando o gráfico, vemos que . Portando, a permeabilidade magnética será:
E a permeabilidade relativa será:
Passo 4
Para , utilizando o gráfico, vemos que . Portando, a permeabilidade magnética será:
E a permeabilidade relativa será:
Passo 5
Para , utilizando o gráfico, vemos que . Portando, a permeabilidade magnética será:
E a permeabilidade relativa será:
Como podemos ver pelos resultados obtidos, a permeabilidade relativa não é constante. Ela é crescente no início e depois vai diminuindo com o aumento da intensidade de campo magnético. No gráfico abaixo vemos como a permeabilidade relativa varia com a intensidade do fluxo magnético:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Livro Fitzgerald, p.56, Problema 1.1
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:
Área da seção reta
Comprimento médio do núcleo
Comprimento do entreferro
espiras
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.
Calcule a relutância do núcleo e a do entreferro .
Para uma corrente de , calcule:
O fluxo total
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Passo 3
O fluxo total será dado por:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Livro Fitzgerald, p.27, Problema prático 1.1
O circuito magnético mostrado abaixo tem as dimensões , e e espiras. Suponha o valor de para o material do núcleo. Dada a condição de que o circuito magnético esteja operando com , encontre:
as relutâncias e
o fluxo .
a corrente .
Passo 1
Neste exercício, além do núcleo de material magnético, temos um entreferro de ar. Quando o comprimento do entreferro é muito menor do que as dimensões da seção reta do núcleo, podemos considerar que não há dispersão do fluxo e utilizar as técnicas de análise de circuito magnético que conhecemos.
Temos que tomar com as unidades, tudo o que está em centímetros devemos passar para metros.
Além disso, foi dado a permeabilidade relativa do nucleo . Logo, a permeabilidade do núcleo é
Passo 2
A relutância do núcleo é calculada pela fórmula abaixo:
Logo, substituindo os valores:
Da mesma maneira podemos calcular a relutância do entreferro :
Passo 3
Como o fluxo que passa pelo núcleo é o mesmo que passa pelo entreferro, podemos calculá-lo utilizando a fórmula abaixo:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a . Temos a seguinte equação que relaciona a força magnetomotriz, o fluxo e a relutância:
Nesse circuito, temos duas relutâncias. Logo, a relutância total será a soma da relutância do entreferro com a do núcleo.
Então, substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Então, a será
Como
A corrente será
Resposta
Exercício Resolvido #5
Livro Chapman, p.56, Problema 1.5
A figura abaixo mostra um núcleo ferromagnético. A profundidade (para dentro da página) do núcleo é . As demais dimensões do núcleo estão mostradas na figura. Encontre o valor da corrente que produzirá um fluxo de . Com essa corrente, qual é a densidade do fluxo no lado superior do núcleo? Qual é a densidade do fluxo no lado direito do núcleo? Assuma que a permeabilidade relativa do núcleo é .
Passo 1
O núcleo ferromagnético do problema tem áreas diferentes de seção reta para cada região. Por causa disso, a densidade de fluxo também será diferente!
Para a região 1 (parte superior):
Passo 2
A relutância total será a soma das relutâncias:
Passo 3
A força magnetomotriz que produz um fluxo de é:
Passo 4
Portanto, a corrente que produzirá esse fluxo será:
Passo 5
A densidade de fluxo na parte superior do núcleo será a densidade de fluxo na região 1:
Passo 6
A densidade de fluxo no lado direito do núcleo será a densidade de fluxo na região 3:
Resposta
A densidade de fluxo na parte superior do núcleo é
A densidade de fluxo no lado direito do núcleo é
Exercício Resolvido #6
Livro Chapman, p.25, Exemplo 1.5 (adaptado)
Um núcleo magnético quadrado tem um comprimento médio de e uma área de seção reta de . Uma bobina com espiras é enrolada em torno de uma perna do núcleo. O núcleo é feito de um material cuja curva de magnetização é mostrada abaixo:
Qual a corrente necessária para produzir de fluxo no núcleo?
Qual a permeabilidade relativa do núcleo nesse nível de corrente?
Qual é a sua relutância?
Passo 1
Primeiro, vamos desenhar o circuito magnético para visualizarmos o problema.
Temos que tomar em relação às unidades. Então, vamos passar tudo o que está em centímetros para metros.
Passo 2
Para encontrarmos a corrente, primeiro temos que calcular a densidade de fluxo no núcleo:
Agora, com o valor calculado, vamos analisamos a curva de magnetização e vemos qual a intensidade de fluxo magnético correspondente a essa densidade.
Passo 3
Pela lei de Ampère podemos relacionar a corrente com a intensidade de campo magnético:
Isolando a corrente:
Substituindo os pelos valores:
Passo 4
A permeabilidade magnética é a propriedade do material em que se encontra o campo magnético que relaciona a intensidade de campo magnético e a densidade de fluxo magnético .
Logo, podemos calculá-la assim:
Como, , a gente determina a permeabilidade relativa fazendo:
Passo 5
Para calcularmos a relutância do núcleo, antes vamos determinar a força magnetomotriz.
Agora é aplicar a fórmula abaixo e correr para o abraço.
Resposta
Exercício Resolvido #7
Livro Chapman, p.56, Problema 1.7
Um núcleo de duas pernas está mostrado na abaixo. O enrolamento da perna esquerda do núcleo tem espiras e o enrolamento da perna direita do núcleo tem espiras. As bobinas são enroladas nos sentidos mostrados na figura. Se as dimensões forem as mostradas, qual será o fluxo produzido pelas correntes e ? Assuma que é constante.
Passo 1
Pela regra da mão direita, os fluxos produzidos pelos dois enrolamentos possuem o mesmo sentido.
Logo, a força magnetomatriz total será a soma das forças magnetromotrizes de cada enrolamento.
Passo 2
Agora, para calcularmos a relutância total no núcleo vamos utilizar a fórmula abaixo:
Primeiro, vamos calcular o comprimento médio:
Passo 3
Sabendo que a profundidade do núcleo é de . A área da seção reta é:
Passo 4
Como o enunciado disse para assumir que e é constante, a permeabilidade do núcleo será:
Passo 5
Agora, substituindo os valores calculados, a relutância total no núcleo será:
Passo 6
Logo, o fluxo pode ser calculado por:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Livro Fitzgerald, Problema 1.2
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:
Área da seção reta
Comprimento médio do núcleo
Comprimento do entreferro
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade finita de e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.
(a) Calcule a relutância total do núcleo e a do entreferro . Para uma corrente de , calcule
(b) o fluxo total
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
(Lembrando que )
Como então,
Em seguida, vamos calcular a relutância do gap (entreferro):
Passo 2
Agora, na letra b queremos o fluxo total, e para isso, basta utilizar a fórmula:
Resposta
(a)
(b)
Exercício Resolvido #9
Livro Fitzgerald, Problema 1.2
Determinar a densidade de fluxo magnético (B ) em cada uma das três pernas do circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do núcleo, B é relacionado diretamente com H, através da expressão B = 200 H .
Dados:
Passo 1
Vamos começar desenhando nosso circuito elétrico análogo:
Passo 2
Vamos separar os dados todos pra então fazer os cálculos:
Analisando o circuito análogo vamos chegar nas seguintes equações:
Passo 3
Vamos agora fazer os cálculos das relutâncias:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos substituir as relutâncias encontradas nas nossas equações do Passo 2 e assim encontraremos os fluxos:
Separamos as equações em:
Agora, substituímos essa última equação em :
Vamos achar e
Passo 5
Por fim, basta calcular as densidades dos fluxos magnéticos:
Para :
Para :
Para :
Resposta
Exercício Resolvido #10
Banco de Exercícios, Forças e Circuitos Magnéticos, Materiais e Indutância (adaptado)
Suponha que o núcleo do material magnético da figura abaixo possui uma permeabilidade relativa de 5000. O fluxo do braço esquerdo circula de a para b com um comprimento médio de . O comprimento médio do braço direito é igual ao do braço esquerdo. O braço central possui um comprimento médio de . Adotar a área da seção reta de cada caminho igual a e o fluxo de dispersão desprezível. Calcule todas as relutâncias.
Passo 1
Vamos começar desenhando nosso circuito elétrico análogo:
Passo 2
Pronto, agora fica bem mais fácil né?
Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto,
Para e :
Para :