Análise de Circuitos Magnéticos

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Teoria

Agora, vamos analisar os circuitos magnéticos como analisamos os circuitos elétricos simples. Esse tipo de análise é a mais comum e simplifica muito a nossa vida, já que as leis de circuitos elétricos já estão em nosso sangue e são válidas nessa análise de circuito magnético.

Vamos começar!

Circuito Elétrico

Em um circuito elétrico simples, como o mostrado abaixo, a fonte de tensão V injeta ao circuito uma corrente I que passa por uma resistência R .

Pela lei de Ohm:

V = R i

Circuito Magnético

No circuito elétrico o fluxo de corrente é injetado por uma tensão ou uma força eletromotriz. De maneira análoga, em um circuito magnético a força magnetomotriz F é a responsável por criar o fluxo ϕ .

Do mesmo modo que a lei de Ohm, a relação entre a F M M e o fluxo é

F = R ϕ

Relutância

Como sabemos, podemos calcular a relutância R c do núcleo pela fórmula abaixo:

R c = l c μ c A c

As relutâncias em um circuito magnético obedecem às mesmas regras que as resistências em um circuito elétrico. Quando elas estão em série, a relutância equivalente é a soma das relutâncias:

R e q = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N

Já quando estão em paralelo:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N

Exemplo 1 – Circuito Magnético Série

Para você ver como essa análise de circuitos magnéticos facilita muito a nossa vida, vamos fazer o exemplo abaixo. Nele, temos um núcleo ferromagnético, três de seus lados têm a mesma largura e a largura do quarto lado é menor. A profundidade do núcleo é 15   c m e as outras dimensões são mostradas na figura. Vamos assumir que a μ r = 2500 e calcular o fluxo que será produzido por uma corrente de 2 ampères.

Passo 1

O primeiro passo é calcular as relutâncias. Nesse exemplo temos duas: uma referente aos três lados de mesma largura e a outra referente ao lado de menor largura.

R 1 = l 1 μ c A 1                                               R 2 = l 2 μ c A 2  

Primeiro vamos determinar os comprimentos médios l 1 e l 2 .

Analisando a figura temos:

l 1 = 2 × 5 + 50 + 7,5 + 50 + 7,5 + 7,5 = 190   c m = 1,9   m

l 2 = 50 + 7,5 + 7,5 = 65   c m = 0,65   m

Passo 2

Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:

A 1 = 15 × 15 = 225   c m 2 = 0,0225   m 2

A 2 = 10 × 15 = 150   c m 2 = 0,0150   m 2

Além disso, foi dado a permeabilidade relativa μ r .Logo, a permeabilidade do núcleo é:

μ c = μ r μ 0

μ c = 2.500 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 3,14 × 10 - 3   H / m

Passo 3

Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c A 1 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 1 = 26.893   A . e / W b

R 2 = l 2 μ c A 2 = 0,65 3,14 × 10 - 3 0,0150

R 2 = 13.800   A . e / W b

Passo 4

Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exercício. Como o fluxo é o mesmo para todos os lados do núcleo ferromagnético, o circuito é série e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em série.

Portanto, a relutância total do núcleo é:

R e q = R 1 + R 2

R e q = 26.893 + 13.800

R e q = 40.693   A . e / W b

Passo 5

Podemos calcular a F M M total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele.

F = N i

F = ( 200 ) ( 2 )

F = 400   A . e

Passo 6

Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:

F = R e q ϕ

Logo, o fluxo é calculado por:

ϕ = F R e q

ϕ = 400 40693

ϕ = 0,00983   W b

Pronto! Agora vamos ver um caso em que as relutâncias estão associadas em paralelo.

Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo

Agora, temos o núcleo abaixo com a mesma permeabilidade relativa μ r = 2500 . As dimensões estão mostradas na figura. Se na bobina houver 200 espiras enroladas em torno da perna central do núcleo e se a corrente na bobina for 2   A , quais serão os valores de fluxo para as pernas esquerda, central e direita do núcleo?

Passo 1

Nesse exemplo temos três relutâncias: uma referente à perna central, uma referente ao lado esquerdo e outra referente ao lado direito, que são respectivamente:

R 1 = l 1 μ c A 1                                               R 2 = l 2 μ c A 2                                   R 3 = l 3 μ c A 3

Primeiro vamos determinar os comprimentos médios e as áreas das seções retas:

Analisando a figura temos:

l 1 = ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 65   c m = 0,65   m

l 2 = 2 × 50 + 7,5 + 5 + ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 190   c m = 1,9   m

l 3 = 2 × 50 + 7,5 + 5 + ( 50 + 7,5 + 7,5 ) = 190   c m = 1,9   m

Agora, vamos calcular as áreas das seções retas:

A 1 = 10 × 15 = 150   c m 2 = 0,0150   m

A 2 = A 3 = 15 × 15 = 225   c m 2 = 0,0225   m

Como o núcleo tem a mesma permeabilidade relativa do que o exemplo anterior:

μ c = μ r μ 0

μ c = 2.500 × ( 4 π × 10 - 7 )

μ c = 3,14 × 10 - 3   H / m

Passo 2

Então, substituindo os valores que calculamos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c A 1 = 0,65 3,14 × 10 - 3 0,0150

R 1 = 13.800   A . e / W b

R 2 = l 2 μ c A 2 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 2 = 26.893   A . e / W b

R 3 = l 3 μ c A 3 = 1,9 3,14 × 10 - 3 0,0225

R 3 = 26.893   A . e / W b

Passo 3

Agora que calculamos as relutâncias, vamos desenhar o circuito magnético referente a esse exemplo.

Nesse caso, o fluxo produzido na perna central se dividirá em dois: um seguindo para a esquerda e outro para a direita. Logo, o circuito é paralelo e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em paralelo.

Como o fluxo é o análogo à corrente em um circuito elétrico, temos:

ϕ 1 = ϕ 2 + ϕ 3

Além disso, a relutância total do núcleo é:

R e q = R 1 + ( R 2 R 3 )

R e q = 13.800 + 26.893 × 26.893 26.893 + 26.893

R e q = 27246,5   A e / W b

Passo 4

Podemos calcular a F M M total multiplicando o número de espiras do enrolamento pela corrente que circula por ele:

F = N i

F = ( 200 ) ( 2 )

F = 400   A . e

Passo 5

Pela analogia de circuitos elétricos com circuitos magnéticos temos:

F = R e q ϕ 1

Logo, o fluxo é calculado por:

ϕ 1 = F R e q

ϕ 1 = 400 27246,5

ϕ 1 = 0,0147   W b

Passo 6

Agora, vamos calcular os fluxos da esquerda e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos.

ϕ 2 = R 3 R 2 + R 3 × ϕ 1

ϕ 2 = 26893 26893 + 26893 × 0,0147

ϕ 2 = 0,00735   W b

ϕ 3 = R 2 R 2 + R 3 × ϕ 1

ϕ 3 = 26893 26893 + 26893 × 0,0147

ϕ 3 = 0,00735   W b

Como podemos ver, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre os dois caminhos, o que era de se esperar, já que a relutância da região da direita é igual à da esquerda. Isso prova mais uma vez a analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos.

Quando tínhamos um circuito elétrico com dois resistores iguais ligados em paralelo, a corrente se dividia igualmente. Metade passava por um resistor e a outra metade no outro.

Agora é praticar bastante!

Exemplo 1 – Circuito Magnético Série

Exemplo 2 – Circuito Magnético Paralelo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um núcleo de transformador com comprimento efetivo de caminho médio de 6   p o l (polegadas) tem uma bobina de 200 espiras enroladas em torno de uma perna. A área de sua seção reta é 0,25   p o l 2 (polegadas quadradas) e sua permeabilidade magnética relativa é 2230 . Se uma corrente de 0,3   A estiver circulando na bobina, qual será o fluxo total no núcleo? Qual é a densidade de fluxo?

Passo 1

Para melhor visualização, fiz o desenho do circuito para você entender melhor o que está acontecendo:

A força magnetomotriz do circuito será:

F = N i

F = 200 × 0,3

F = 60   A . e

O circuito magnético associado à configuração acima é esse:

Passo 2

O próximo passo é calcular a relutância do circuito. Lembra da fórmula da relutância?

R = l c μ × A c

Antes teremos que calcular o valor de μ :

μ = μ 0 × μ R

μ = 4 π × 10 - 7 × 2230

μ = 0,0028

Passo 3

As medidas têm que estar em metros:

1   p o l =   0,0254   m

1   p o l 2 = 0,00064516   m 2

Passando de polegada para metro:

l c = 0,1524   m

A c =   0,00016129   m 2

Agora já podemos calcular a relutância:

R = 0,1524 0,0028 × 0,00016129

R = 337457,81   A . e / W b

Passo 4

Agora já é possível calcular o valor do fluxo:

ϕ = F R

ϕ = 60 337457,81

ϕ = 0,0001778   W b

Passo 5

Para calcular a densidade de fluxo a gente tem que lembrar dessa fórmula aqui:

ϕ = B × A c

B = 0,0001778 0,00016129

B = 1,1   T

Resposta

ϕ = 0,0001778   W b

B = 1,1   T

Exercício Resolvido #2

A figura abaixo mostra o núcleo de um motor CC simples:

Assuma que a área da seção reta de cada entreferro seja 18   c m 2 , que a largura de cada entreferro é 0,05   c m e que a permeabilidade relativa do núcleo é 3800 . O diâmetro efetivo do núcleo do rotor é 5   c m e a densidade de fluxo no núcleo é 1,2   T .

( a ) Qual seria o fluxo total no núcleo para essa densidade de fluxo da parte?

( b ) A corrente de campo máxima possível para essa máquina é 1   A . Determine um número razoável de espiras de fio para fornecer a densidade de fluxo desejada e ao mesmo tempo não exceder a corrente máxima disponível.

Passo 1

Na letra ( a ) , vamos calcular o fluxo no núcleo utilizando a fórmula abaixo:

ϕ = B A

Como a profundidade do núcleo é 5   c m área da seção reta será:

A = 5 × 5 = 25   c m 2 = 25 × 10 - 4   m 2

Então, o fluxo é:

ϕ = ( 1,2 ) ( 25 × 10 - 4 )

ϕ = 0,003   W b

Passo 2

Na letra ( b ) , vamos encontrar o número de espiras utilizando circuito magnético referente a esse núcleo. A gente vai ter quatro relutâncias associadas em série: uma referente às pernas do núcleo, uma referente ao núcleo do rotor e mais duas referente aos entreferros, que serão iguais.

Passo 3

Agora vamos partir para os cálculos das relutâncias, lembrando que tudo tem que estar em metros:

R n = l n μ n A

R n = 0,60 ( 3800 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 25 × 10 - 4 )

R n = 50259,4   A . e / W b

R r = l n μ n A

R r = 0,05 ( 3800 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 25 × 10 - 4 )

R r = 4188,3   A . e / W b

R g 1 = R g 2 = l g μ 0 A g

R g 1 = R g 2 = 0,0005 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 18 × 10 - 4 )

R g 1 = R g 2 = 221048,5   A . e / W b

Passo 4

Como o fluxo é o mesmo para todo o núcleo, as relutâncias estão em série e a relutância equivalente será:

R e q = R n + R g 1 + R r + R g 2

R e q = 50259,4 + 221048,5 + 4188,3 + 221048,5

R e q = 496544,7   A . e / W b

Passo 5

Para encontrarmos o número de espiras, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, utilizando a relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ R e q

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,003 ) ( 496544,7 )

F = 1489,6   A . e

Como

F = N i

O número de espiras será:

N = F i

N = 1489,6 1

N = 1489,6   e s p i r a s

Logo, um número razoável de espiras para atender nossas condições seria N = 1500   e s p i r a s

Resposta

a   ϕ = 0,003   W b

b   N = 1500   e s p i r a s

Exercício Resolvido #3

Um núcleo com três pernas está mostrado na figura abaixo. Sua profundidade é de 5   c m e há 100 espiras na perna esquerda. Pode-se assumir que a permeabilidade relativa do núcleo é 2000 e constante. Que fluxo existe em cada uma das três pernas do núcleo? Qual é a densidade de fluxo em cada uma das pernas? Assuma um aumento de 5 % na área efetiva do entreferro devido aos efeitos de espraiamento.

Passo 1

Vamos começar calculando os comprimentos de cada braço:

l 1 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 1 = 1,08   m  

Para l 2 e l 3 temos que lembrar de subtrair o valor do comprimento dos gaps:

l 2 = 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 2 = 0,34   m  

l 3 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 3 = 1,08   m  

Passo 2

Calculando as áreas:

A 1 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 1 = 0,0045   m 2

A 2 = 15 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 2 = 0,0075   m 2

A 3 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 3 = 0,0045   m 2

Passo 3

Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?

Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é 5 % maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:

A g = 1,05 × A 2

Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom no entreferro desse núcleo:

Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse aumento.

A g = 1,05 × 0,0075  

A g = 0,007875   m 2

Passo 4

O circuito terá as relutâncias do núcleo e também a relutância associada aos entreferro, denominadas de R g . O circuito do problema fica assim:

Calculando as relutâncias:

R 1 = l 1 μ 0 μ R × A 1 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

R 2 = l 2 μ 0 μ R × A 2 = 0,34 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0075 = 18037,56   A . e / W b

R 3 = l 3 μ 0 μ R × A 3 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

Para o cálculo das relutâncias no entreferro, temos que lembrar que o μ R não entra na fórmula, porque é um entreferro de ar:

R g = g μ 0 × A g = 0,05 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 0,007875 = 50525,37   A . e / W b

Passo 5

A relutância total será:

R T O T A L = R 1 + ( R 2 + R g ) R 3

R 2 + R g = 68562,93   A . e / W b

R T O T A L = 95493,0 + 68562,93 × 95493,0   68562,93 + 95493,0  

R T O T A L = 135401,82   A . e / W b

Passo 6

Agora podemos calcular o valor do fluxo total:

ϕ T O T A L   = ϕ 1 = F R T O T A L

ϕ 1 = N i R T O T A L

ϕ 1 = 100 × 2 135401,82

ϕ 1 = 1,48 × 10 - 3   W b

Passo 7

Agora vamos calcular os fluxos central e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos. O fluxo central será:

ϕ 2 = R 3 R 2 + R g + R 3 × ϕ T O T A L

ϕ 2 = 95493,0   68562,93 + 95493,0 × 1,48 × 10 - 3  

ϕ 2 = 8,61 × 10 - 4   W b

Passo 8

O fluxo da direita será:

ϕ 3 = R 2 + R g R 2 + R g + R 3 × ϕ T O T A L

ϕ 3 = 68562,93 68562,93 + 95493,0 × 1,48 × 10 - 3  

ϕ 3 = 6,2 × 10 - 4   W b

Passo 9

A densidade de fluxo em cada perna do circuito será:

B 1 = ϕ 1 A 1 = 1,48 × 10 - 3 0,0045   = 0,329   T

B 2 = ϕ 2 A 2 = 8,61 × 10 - 4   0,0075   = 0,115   T

B 3 = ϕ 3 A 3 = 6,2 × 10 - 4 0,0045 = 0,138   T

Resposta

ϕ 1 = 1,48 × 10 - 3   W b

ϕ 2 = 8,61 × 10 - 4   W b

ϕ 3 = 6,2 × 10 - 4   W b

B 1 = 0,329   T

B 2 = 0,115   T

B 3 = 0,138   T

Exercício Resolvido #4

Um núcleo ferromagnético com uma permeabilidade relativa de 1500 está mostrado na figura abaixo. As dimensões são mostradas no diagrama e a profundidade do núcleo é de 5   c m . Os entreferros nos lados direito e esquerdo do núcleo são 0,050   c m e 0,070   c m , respectivamente. Devido ao efeito de espraiamento, a área efetiva dos entreferros é de 5 % maior do que o seu tamanho físico. Se na bobina houver 300 espiras enroladas em torno da perna central do núcleo e se a corrente na bobina for 1,0   A , quais serão os valores de fluxo para as pernas esquerda, central e direita do núcleo? Qual é a densidade de fluxo em cada entreferro?

Passo 1

Vamos começar calculando os comprimentos de cada braço:

l 1 = 3,5 + 30 + 3,5 × 10 - 2

l 1 = 0,37   m  

Para l 2 e l 3 temos que lembrar de subtrair o valor do comprimento dos gaps:

l 2 = 2 × 3,5 + 30 + 3,5 × 10 - 2 + 3,5 + 30 + 3,5 × 10 - 2 - 0,07 × 10 - 2

l 2 = 1,1093   m  

l 3 = 2 × 3,5 + 30 + 3,5 × 10 - 2 + 3,5 + 30 + 3,5 × 10 - 2 - 0,05 × 10 - 2

l 3 = 1,1095   m  

Passo 2

Calculando as áreas:

A 1 = 7 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 1 = 0,0035   m 2

A 2 = 7 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 2 = 0,0035   m 2

A 3 = 7 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 3 = 0,0035   m 2

Passo 3

Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?

Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é 5 % maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:

A g 2 = 1,05 × A 2

A g 3 = 1,05 × A 3

Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom nos entreferros desse núcleo:

Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse efeito.

A g 2 = 1,05 × 0,0035

A g 2 = 0,003675   m 2

A g 3 = 1,05 × 0,0035  

A g 3 = 0,003675   m 2

Passo 4

O circuito terá as relutâncias do núcleo e também as relutâncias associadas aos entreferros, denominadas de R g 2 e R g 3 . O circuito do problema fica assim:

Calculando as relutâncias:

R 1 = l 1 μ 0 μ R × A 1 = 0,37 4 π × 10 - 7 × 1500 × 0,0035 = 56083,17   A . e / W b

R 2 = l 2 μ 0 μ R × A 2 = 1,1093 4 π × 10 - 7 × 1500 × 0,0035 = 168143,4   A . e / W b

R 3 = l 3 μ 0 μ R × A 3 = 1,1095 4 π × 10 - 7 × 1500 × 0,0035 = 168173,72   A . e / W b

Para o cálculo das relutâncias nos entreferros, temos que lembrar que o μ R não entra na fórmula, porque é um entreferro de ar:

R g 2 = g 2 μ 0 × A g 2 = 0,07 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 0,003675 = 151576,1   A . e / W b

R g 3 = g 3 μ 0 × A g 3 = 0,05 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 0,003675 =   108268,7   A . e / W b

Passo 5

A relutância total será:

R T O T A L = R 1 + ( R 2 + R g 2 ) ( R 3 + R g 3 )

R 2 + R g 2 = 319719,5   A . e / W b

R 3 + R g 3 = 276442,39       A . e / W b  

R T O T A L = 56083,17 + 319719,5 × 276442,39 319719,5 + 276442,39  

R T O T A L = 204338,2   A . e / W b

Passo 6

Agora podemos calcular o valor do fluxo total:

ϕ T O T A L   = ϕ 1 = F R T O T A L

ϕ 1 = N i R T O T A L

ϕ 1 = 300 × 1 204338,2

ϕ 1 = 1,468 × 10 - 3   W b

Passo 7

Agora vamos calcular os fluxos da esquerda e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos. O fluxo da esquerda será:

ϕ 2 = R 3 + R g 3 R 2 + R g 2 + R 3 + R g 3 × ϕ T O T A L

ϕ 2 = 276442,39 319719,5 + 276442,39 × 1,468 × 10 - 3  

ϕ 2 = 6,8 × 10 - 4   W b

Passo 8

O fluxo da direita será:

ϕ 3 = R 2 + R g 2 R 2 + R g 2 + R 3 + R g 3 × ϕ T O T A L

ϕ 3 = 319719,5 319719,5 + 276442,39 × 1,468 × 10 - 3  

ϕ 3 = 7,9 × 10 - 4   W b

Resposta

F l u x o   c e n t r a l :       ϕ 1 = 1,468 × 10 - 3   W b

F l u x o   d a   e s q u e r d a :       ϕ 2 = 6,8 × 10 - 4   W b

F l u x o   d a   d i r e i t a :       ϕ 3 = 7,9 × 10 - 4   W b

Exercício Resolvido #5

Um núcleo com três pernas é mostrado na figura abaixo:

Sua profundidade é 5   c m e há 400 espiras na perna central. As demais dimensões estão mostradas na figura. O núcleo é composto de um aço cuja curva de magnetização está mostrada abaixo:

Responda às seguintes perguntas sobre esse núcleo:

( a ) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de 0,5   T na perna central do núcleo?

( b ) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de   1,0   T na perna central do núcleo? Essa corrente é o dobro da corrente da parte ( a ) ?

( c ) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condições da parte ( a ) ?

( d ) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condições da parte ( b ) ?

Passo 1

Nesse exemplo temos três relutâncias: uma referente à perna central, uma referente ao lado esquerdo e outra referente ao lado direito.

Além disso, o fluxo produzido na perna central se dividirá em dois: um seguindo para a esquerda e outro para a direita. Logo, o circuito é paralelo e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em paralelo.

Como o fluxo é o análogo à corrente em um circuito elétrico, temos:

ϕ 1 = ϕ 2 + ϕ 3

Passo 2

Na letra ( a ) , a densidade de fluxo na perna central é 0,5   T . Para essa densidade de fluxo o fluxo é:

ϕ 1 = B 1 A 1

A área da seção reta é a mesma para todo o núcleo:

A = 0,05 0,05 = 0,0025   m

Logo, o fluxo na perna central será:

ϕ 1 = ( 0,5 ) ( 0,0025 )

ϕ 1 = 0,00125   W b

Passo 3

Como o núcleo é simétrico, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre a perna da esquerda e da direita.

Então,

ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ 1 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,00125 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,000625   W b

Para esses fluxos, a densidade de fluxo será:

B 2 = B 3 = 0,000625 0,0025

B 2 = B 3 = 0,25   T

Passo 4

Utilizando a curva de magnetização, vemos que para uma densidade de fluxo de 0,25   T a intensidade de campo magnético é 50   A . e / m e para uma densidade de 0,5   T a intensidade é 75   A . e / m .

H 1 = 7 5   A . e / m

H 2 = H 3 = 50   A . e / m

Agora vamos calcular as permeabilidades relativas para depois calcularmos as relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1                         R 2 = l 2 μ c 2 A 2                       R 3 = l 3 μ c 3 A 3

Então, vamos começar. Para a perna central, temos:

μ c 1 = B 1 H 1

μ c 1 = 0,5 75 = 0,00667   H / m

Já para as pernas laterais:

μ c 2 = μ c 3 = 0,25 50 = 0,005   H / m

Passo 5

Como a área da seção reta é a mesma para todo o núcleo, falta calcularmos o comprimento médio relacionado à cada relutância.

Onde:

l 1 = 2,5 + 16 + 2,5 = 21   c m = 0,21   m

l 2 = l 3 = 2 × 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 16 + 2,5 = 63   c m = 0,63   m

Então, substituindo todos os valores que encontramos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1

R 1 = 0,21 ( 0,00667 ) ( 0,0025 )

R 1 = 12593,7   A . e / W b

R 2 = R 3 = l 2 μ c 2 A 2

R 2 = R 3 = 0,63 ( 0,005 ) ( 0,0025 )

R 2 = R 3 = 50400   A . e / W b

Passo 6

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, vamos usar o circuito magnético e a nossa relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ 1 R e q

Como as relutâncias R 1 e R 2   estão em paralelo, a relutância equivalente será:

R e q = R 1 + R 2 R 3

R e q = 12593,7     + 50400 50400

R e q = 12593,7     + 50400 × 50400 50400 + 50400

R e q = 12593,7 + 25200

R e q = 37793,7   A . e / W b

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,00125 ) ( 37793,7   )

F = 47,2   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 47,2 400

i = 0,12   A

Passo 7

Na letra ( b ) , a densidade de fluxo na perna central é 1,0   T . Para essa densidade de fluxo o fluxo é:

ϕ 1 = B 1 A 1

A área da seção reta é a mesma para todo o núcleo:

A = 0,05 0,05 = 0,0025   m

Logo, o fluxo na perna central será:

ϕ 1 = ( 1,0 ) ( 0,0025 )

ϕ 1 = 0,0025   W b

Passo 8

Como o núcleo é simétrico, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre a perna da esquerda e da direita. Então,

ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ 1 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,0025 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,00125   W b

Para esses fluxos, a densidade de fluxo será:

B 2 = B 3 = 0,00125 0,0025

B 2 = B 3 = 0,5   T

Passo 9

Utilizando a curva de magnetização, vemos que para uma densidade de fluxo de 1,0   T a intensidade de campo magnético é 160   A . e / m e para uma densidade de 0,5   T a intensidade é 75   A . e / m .

H 1 = 160   A . e / m

H 2 = H 3 = 7 5   A . e / m

Agora vamos calcular as permeabilidades relativas. Para a perna central, temos:

μ c 1 = B 1 H 1

μ c 1 = 1,0 160 = 0,00625   H / m

Já para as pernas laterais:

μ c 2 = μ c 3 = 0,5 75 = 0,00667   H / m

Passo 10

Então, substituindo todos os valores que encontramos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1

R 1 = 0,21 ( 0,00625 ) ( 0,0025 )

R 1 = 13440   A . e / W b

R 2 = R 3 = l 2 μ c 2 A 2

R 2 = R 3 = 0,63 ( 0,00667 ) ( 0,0025 )

R 2 = R 3 = 37781,1   A . e / W b

Passo 11

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, vamos usar o circuito magnético e a nossa relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ 1 R e q

Como as relutâncias R 1 e R 2   estão em paralelo, a relutância equivalente será:

R e q = R 1 + R 2 R 3

R e q = 13440     + 37781,1 37781,1

R e q = 13440     + 37781,1 × 37781,1 37781,1 + 37781,1

R e q = 13440 + 18890,5

R e q = 32330,5   A . e / W b

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,0025 ) ( 32330,5 )

F = 80,8   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 80,8 400

i = 0,202   A

Passo 12

Na letra ( c ) é pedido as relutâncias da perna central e direita para as condições da letra ( a ) . Nós já calculamos essas relutâncias quando estávamos querendo descobrir a correnta na letra ( a ) . Elas são:

R 1 = 12593,7   A . e / W b

R 3 = 50400   A . e / W b

Passo 13

Para terminar, na letra ( d ) as relutâncias pedidas são para as condições da letra ( b ) , que também já tínhamos calculado:

R 1 = 13440   A . e / W b

R 3 = 37781,1   A . e / W b

Resposta

a   i = 0,12   A b   i = 0,202   A c   R 1 = 12593,7   A . e / W b ;   R 3 = 50400   A . e / W b d   R 1 = 13440   A . e / W b ;   R 3 = 37781,1   A . e / W b

Exercício Resolvido #6

Um núcleo magnético de duas pernas e um entreferro está mostrado abaixo:

A profundidade do núcleo é 5   c m , o comprimento do entreferro do núcleo é   0,05   c m e o número de espiras no núcleo é 1.000 . A curva de magnetização do material do núcleo está mostrada na abaixo:

Assuma um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. Quanta corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo no entreferro de 0,5   T ? Quais são as densidades de fluxo dos quatro lados no núcleo com essa corrente? Qual é o fluxo total presente no entreferro?

Passo 1

Nesse núcleo, o fluxo é o mesmo para todas as pernas, ele só tem um caminho para circular. Então seu circuito magnético será com as relutâncias associadas em série.

Agora, vamos analisar quantas relutâncias diferentes temos. Podemos dividir esse núcleo em três relutâncias: uma para as pernas de maior largura ( R 1 ) , uma para a perna mais estreita ( R 2 ) , e uma outra para o entreferro ( R g ) . Então, nosso circuito magnético será assim:

Onde:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1                             R 2 = l 2 μ c 2 A 2                             R g = g μ 0 A g

Passo 2

Agora, vamos determinar os comprimentos médios referentes à cada relutância e as áreas das seções retas. Para ficar mais fácil vamos analisar a figura abaixo.

Lembrando que o comprimento tem que estar em metros, temos:

l 1 = 30 + 5 + 5 + 2 × 5 + 30 + 2,5 = 115   c m = 1,15   m

Cuidado com o comprimento l 2 ! A gente tem que descontar o comprimento do entreferro.

l 2 = 30 + 5 + 5 - 0,05 = 39,95   c m = 0,3995   m

O comprimento do entreferro o enunciado já deu de bandeja:

g = 0,05   c m = 0,0005   m

Passo 3

Com os comprimentos calculador, vamos partir para o cálculo das áreas. Como a profundidade do núcleo é 5   c m :

A 1 = 10 × 5 = 50   c m 2 = 50 × 10 - 4   m 2

A 2 = 5 × 5 = 25   c m 2 = 25 × 10 - 4   m 2

Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?

Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é 5 % maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:

A g = 1,05 × A 2

Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom no entreferro desse núcleo:

Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse efeito.

A g = 1,05 × 25 × 10 - 4   = 26,25 × 10 - 4   m 2

Passo 4

Agora que já sabemos a área da seção reta do entreferro, podemos calcular o fluxo. Como vimos, ele é o mesmo em todas as pernas do núcleo. Então, como o enunciado disse que no entreferro a densidade de fluxo tem que ser de 0,5   T , usando a equação abaixo, temos:

ϕ = B A g

ϕ = 0,5 × ( 26,25 × 10 - 4 )

ϕ = 0,00131   W b

Pronto! Uma pergunta do enunciado já foi respondida.

Passo 5

Agora que já temos o fluxo, podemos calcular a densidade de fluxo em cada região. A primeira região é a aquela com as pernas de mesma largura, que têm comprimento médio l 1 e área da seção reta A 1 . Nela a densidade de fluxo será:

B 1 = ϕ A 1 = 0,00131 50 × 10 - 4 = 0,262   T

Logo, as densidades de fluxo das pernas inferior, superior e esquerda será:

B i n f = B s u p   = B e s q u e r d a = B 1 = 0,262   T

Já a outra região é aquela com a perna mais fina, que tem comprimento l 2 e área A 2 . Então:

B 2 = ϕ A 2 = 0,00131 25 × 10 - 4 = 0,524   T

Logo a densidade de fluxo da perna da direita do núcleo é:

B d i r e i t a = B 2 = 0,524   T

Passo 6

Sabemos que a permeabilidade magnética do entreferro é:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   H / m

Falta determinarmos a permeabilidade magnética do núcleo, vamos fazer isso utilizando a curva de magnetização que o enunciado nos forneceu.

Também sabemos que a permeabilidade relaciona a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B .

B = μ c H

Logo, podemos calculá-la assim:

μ c = B H

Cada região terá uma permeabilidade diferente, já que a densidade de fluxo é diferente em cada região.

Então, olhando no gráfico, temos:

Para B 1 = 0,262   T :

H 1 = 25 0   A . e / m  

Para B 2 = 0 , 524   T :

H 2 = 410   A . e / m

Logo, as permeabilidades magnéticas serão:

μ c 1 = B 1 H 1

μ c 1 = 0,262 250

μ c 1 = 0,00105   H / m

μ c 2 = B 2 H 2

μ c 2 = 0,524 410

μ c 2 = 0,00128   H / m

Passo 7

Finalmente temos todos os valores para calcular as relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1

R 1 = 1,15 ( 0,00105 ) ( 50 × 10 - 4 )

R 1 = 219047,6   A . e / W b

R 2 = l 2 μ c 2 A 2

R 2 = 0,3995 ( 0,00128 ) ( 25 × 10 - 4 )

R 2 = 106093,8   A . e / W b

R g = g μ 0 A g

R g = 0,0005   ( 4 π × 10 - 7 ) ( 26,25 × 10 - 4 )

R g = 151576,1   A . e / W b

Passo 8

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, vamos usar o circuito magnético e a nossa relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ R e q

Como as relutâncias estão associadas em série, a relutância equivalente será:

R e q = R 1 + R 2 + R g

R e q = 219047,6   + 106093,8 + 151576,1

R e q = 476717,5   A . e / W b

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( ϕ = 0,00131   ) ( 476717,5 )

F = 624,5   A e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 624,5 1000

i = 0,625   A

Resposta

i = 0,625   A

B i n f = B s u p   = B e s q u e r d a = 0,262   T

B d i r e i t a = 0,524   T

  ϕ = 0,00131   W b

Exercício Resolvido #7

No circuito magnético apresentado abaixo, o fluxo magnético no entreferro é de 2 × 10 - 4   W b . Utilizando a curva de histerese do material, determine:

( a ) O circuito elétrico equivalente ao circuito magnético apresentado

( b ) Os fluxos indicados na figura

( c ) O valor da corrente na bobina

Passo 1

Para esse núcleo, teremos cinco relutâncias:

R 1 → referente ao comprimento g h a b

R 2 → referente ao comprimento b g (perna central)

R 3 → referente ao comprimento b c d

R g → referente ao entreferro

R 4 → referente ao comprimento e f g

Como o fluxo gerado pelas espiras na perna da esquerda ϕ T se divide entre os fluxos ϕ 1 e ϕ 2 , temos o circuito magnético abaixo:

Onde:

R 1 = l a b + l g h + l h a μ 1 A

R 2 = l b g μ 2 A b g

R 3 = l b c + l c d μ 3 A

R g = l d e μ 0 A

R 4 = l e f + l f g μ 4 A

Passo 2

O enunciado disse que o fluxo no entreferro é 2 × 10 - 4   W b , ou seja:

ϕ 1 = 2 × 10 - 4   W b

Logo, a densidade de fluxo no entreferro e em todo lado direito será:

B 1 = ϕ 1 A

Como a área da seção reta é 5 × 10 - 4   m para todo o núcleo, exceto no entreferro, temos:

B 1 = 2 × 10 - 4   5 × 10 - 4

B 1 = 0,4   T

Passo 3

A curva de magnetização, também chamada de curva de histerese, desse núcleo é a de cor laranja, já que seu material é em aço laminado (Sheet steel). Então, analisando a curva de magnetização, temos que para essa densidade de fluxo a intensidade de campo magnético é:

B 1 = 0,4   T → H 1 = 55   A . e / m

Como, B 1 = μ H 1 , a permeabilidade do núcleo no lado esquerdo é

μ = B 1 H 1

μ = 0,4 55

μ = 0,00727   H / m

Como eu disse antes, essa é a permeabilidade do lado esquerdo do núcleo. Então, essa será a permeabilidade das relutâncias 3 e 4 .

μ = μ 3 = μ 4 = 0,00727   H / m  

Passo 4

Com isso, podemos calcular as três relutâncias do lado esquerdo do circuito. Vamos começar por R 3 e   R 4 :

R 3 = l b c + l c d μ 3 A

R 3 = 0,1 + 0,099 ( 0,00727 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 3 = 54745,5   A . e / W b

R 4 = l e f + l f g μ 4 A

R 4 = 0,099 + 0,1 ( 0,00727 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 4 = 54745,5   A . e / W b

Agora vamos calcular a relutância do entreferro:

R g = l d e μ 0 A

R g = 0,002 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 5 × 10 - 4 )

R g = 3183098,9   A . e / W b

Passo 5

Como já calculamos as relutâncias do ramo direito do circuito e o fluxo que passa por elas, vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e determinar a força magnetomotriz no nó do circuito.

F 1 = R 3 + R g + R 4 × ϕ 1

F 1 = 54745,5 + 3183098,9 + 54745,5 × 2 × 10 - 4

F 1 = 658,5   A . e

Passo 6

Também está sendo aplicado a relutância R 2 a mesma F M M , já que esta relutância está em paralelo com o ramo da esquerda do circuito. Então:

F 1 = R 2 ϕ 2

Agora, vamos utilizar uma outra relação para F M M na perna central:

F 1 = H b g l b g

Como F 1 = 658,5   A . e e l b g = 0,2   m , podemos calcular a intensidade de campo magnético na perna central:

H b g = F 1 l b g

H b g = 658,5   0,2

H b g = 3292,5   A . e / m

Então, analisando a curva de histerese, temos que para essa intensidade de campo magnético a densidade de fluxo é:

H b g = 3292,5   A . e / m       →       B b g = 1,55   T

Com o valor da densidade de fluxo magnético podemos calcular o fluxo na perna central:

ϕ 2 = B b g A b g

ϕ 2 = 1,55 2 × 10 - 4

ϕ 2 = 3,1 × 10 - 4   W b

Passo 7

Como o fluxo magnético é análogo à corrente elétrica, temos que a soma dos fluxos que entram em um nó é igual à soma dos fluxos que sai desse nó.

Logo, no circuito acima:

ϕ T = ϕ 1 + ϕ 2

ϕ T = 2 × 10 - 4 + ( 3,1 × 10 - 4 )

ϕ T = 5,1 × 10 - 4   W b

Passo 8

Também podemos calcular a permeabilidade da perna central do núcleo utilizando os valores encontrados para H b g e B b g . Como, B = μ H , temos:

μ 2 = B b g H b g

μ 2 = 1,55 3292,5

μ 2 = 4,7 × 10 - 4   H / m

Agora já temos todos os valores necessários para calcular a relutância referente à perna central do núcleo:

R 2 = l b g μ 2 A b g

R 2 = 0,2 ( 4,7 × 10 - 4 ) 2 × 10 - 4

R 2 = 2127659,6   A . e / W b

Passo 9

Falta determinarmos a relutância R 1 , referente ao caminho g h a b . Para determinarmos seu valor, antes, temos que determinar a permeabilidade magnética do núcleo por onde passa o fluxo total ( ϕ T ) :

μ 1 = B T H T

Com o valor do fluxo total podemos calcular a densidade de fluxo magnético:

B T = ϕ T A

B T = 5,1 × 10 - 4 5 × 10 - 4

B T = 1,02   T

Então, analisando a curva de magnetização, temos que para essa densidade de fluxo a intensidade de campo magnético é:

B T = 1,02   T → H T = 180   A . e / m

Portanto, a permeabilidade do núcleo nessa região será:

μ 1 = 1,02 180

μ 1 = 5,67 × 10 - 3   H / m

Passo 10

Agora vamos calcular a relutância R 1 :

R 1 = l a b + l g h + l h a μ 1 A

R 1 = 0,2 + 0,2 + 0,2 ( 5,67 × 10 - 3 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 1 = 211640,2   A . e / W b

Passo 11

Para encontrarmos o valor da corrente na bobina, primeiro temos que determinar a força magnetomotriz F .

Podemos determiná-la de várias maneiras. Uma delas é determinar a relutância equivalente do circuito e utilizar a relação análoga a lei de Ohm:

F = R e q ϕ T

Mas, podemos determiná-la de uma maneira mais rápida, já que:

ϕ T = F - F 1 R 1

Viu só?! Igual a gente fazia em circuitos elétricos!

Então, substituindo pelos valores que calculamos:

5,1 × 10 - 4 = F - 658,5   211640,2

F = 107,9 + 658,5

F = 766,4   A . e

Passo 12

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 766,4 200

i = 3,83   A

Pronto!

Resposta

( a )

b   ϕ T = 5,1 × 10 - 4   W b ;   ϕ 1 = 2 × 10 - 4   W b ;   ϕ 2 = 3,1 × 10 - 4   W b

c   i = 3,83   A

Exercício Resolvido #8

No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a f m m para que o fluxo no entreferro g seja de 300   μ W b . Desprezar o espraiamento de fluxo no entreferro.

Dimensões em centímetros.

Passo 1

Vamos começar com o circuito elétrico análogo:

Passo 2

Em seguida, vamos separar os dados e começar a análise

Dados:

l 1 = l 2 = 16 - 0.05 ⇒ l 1 = l 2 = 15.95   c m

l 3 = 6   c m

S 1 = S 2 = 4   c m 2

S 3 = 6   c m 2

ϕ 1 = 300   μ W b

Aqui, a gente pode perceber a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto, ℜ 1 = ℜ 2 ⇒ ϕ 1 = ϕ 2

Com isso, chegamos no seguinte conjunto de equações:

ϕ 3 = ϕ 1 + ϕ 2 ⇒ ϕ 3 = 2 ϕ 1

N I   - ℜ 3 ϕ 3 = ℜ 1 ϕ 1 + ℜ g ϕ 1 ≈ N I   - H 3 l 3 = H 1 l 1 + H g l g

Passo 3

Para o cálculo de H 1 temos:

B 1 = B g = ϕ 1 S ' = ϕ 1 S g

B 1 = B g = 300 × 1 0 - 6 4 × 1 0 - 4 ⇒ 0.75   T

Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel abaixo:

B 1 = 0.75   T   ⇒ H 1 = 15   A e / m

Para o cálculo de H g temos:

H g = B g μ o

H g = 0.75 4 π 1 0 - 7 ⇒ 5.97 × 1 0 5 A e / m

Para o cálculo de H 3 temos:

Como, ϕ 3 = 2 ϕ 1 ⇒ ϕ 3 = 600   μ W b

B 3 = ϕ 3 S 3

B 3 = 600 × 1 0 - 6 6 × 1 0 - 4 ⇒ 1   T

Novamente vamos consultar a curva de magnetização do ferro-níquel e chegamos em:

B 3 = 1   T ⇒ H 3 = 50   A e / m

Passo 4

Substituindo todos esses valores encontrados na equação do passo 2, temos a força magnetomotriz ( N I ) :

N I - 50 × 6 × 1 0 - 2 = 15 × 15.95 × 1 0 - 2 + 5.97 × 1 0 5 × 0.05 × 1 0 - 2

N I = 3 + 2.39 + 298.5 ⇒ 303.9   A e

Resposta

f m m   = N I = 303.9   A e

Exercício Resolvido #9

Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira retangular de dimensões h e d . A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r + d deste. Determinar a expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos.

Passo 1

Vamos começar já colocando a nossa fórmula de indutância mútua aqui pra sabermos o que precisamos calcular:

M 12 = N 2 ϕ 12 I 1

Então, precisamos calcular ϕ 12 :

Bom, sabemos que para um fio infinito de corrente temos:

H 12 = I 1 2 π ρ a ϕ

então, B 12 = μ o H 12 ⇒ μ o I 1 2 π ρ a ϕ

Agora, pra calcular o φ 12 faremos a integral dessa campo magnético que achamos, ok?

ϕ 12 = ∫ S B 12 ∙ d S

ϕ 12 = ∫ ρ = r r + d μ o I 1 2 π ρ a ϕ ∙ ( h d ρ a ϕ )

ϕ 12 = μ o I 1 h 2 π ∫ ρ = r r + d d ρ ρ ⇒ ϕ 12 = μ o I 1 h 2 π × [ l n ρ ] ρ = r r + d

ϕ 12 = μ o I 1 h 2 π × l n r + d r

Passo 2

Substituindo esse valor que encontramos lá na primeira equação, temos:

M 12 = N 2 μ o I 1 h 2 π I 1 × l n r + d r

M 12 = 1 × μ o I 1 h 2 π × l n r + d r

Resposta

M 12 = μ o h 2 π × l n r + d r

Exercício Resolvido #10

Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir B = 0.6   T através da seção reta da perna esquerda e determinar a queda de potencial magnético no ar V m a r .

Dados:

l 1 = 10 c m

l 2 = 15 c m

l g = 0,6 c m

S 1 = 6 c m 2

S 2 = 4 c m 2

Passo 1

Vamos começar desenhando nosso circuito elétrico análogo:

Passo 2

Pronto, agora fica bem mais fácil né?

Vamos separar nossos dados aqui e começar as contas:

B 1 = 0.6   T

l 1 = 10   c m

l 2 = 15   c m

l g = 0.6   c m

S 1 = 6   c m 2

S 2 = 4   c m 2

Analisando o circuito chegamos na seguinte equação:

N I   = H 1 l 1 + 2 H 2 l 2 + H g l g

onde, H 1 l 1 + 2 H 2 l 2 é o V m a ç o e H g l g é o V m a r

Passo 3

Agora, basta calcularmos V m a r

V m a r = H g l g = B g μ o l g

V m a r = H g l g = ϕ S g × l g μ o

V m a r = 0.6 × 6 × 1 0 - 4   × 0.6 × 1 0 - 2 4 × 1 0 - 4 × 4 π 1 0 - 7

V m a t = 4297.18   A e

Resposta

V m a t = 4297.18   A e

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