Fluxo Concatenado e Indutância

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Teoria

Fluxo Concatenado

De acordo com a lei de Faraday, quando o campo magnético varia no tempo produz-se um campo elétrico no espaço:

∮ C E ∙ d s = - d d t ∫ S B ∙ d a

Calma, a gente não vai precisar calcular integral, só precisamos entender o que essa equação quer dizer. Como o fluxo é

ϕ = ∫ S B ∙ d a

Podemos reescrever a lei de Faraday assim:

∮ C E ∙ d s = - d ϕ d t

Essa equação determina que a integral de linha da intensidade do campo elétrico E ao longo de um caminho fechado é igual à variação de fluxo magnético no tempo que passa através desse caminho fechado.

Esse fluxo que passa através do caminho fechado é chamado de fluxo concatenado λ e é definido como

λ = N φ

Onde N é o número de espiras do enrolamento (caminho fechado C ) e φ é o valor instantâneo de um fluxo que varia no tempo.

Indutância

Em um circuito magnético, formado por um núcleo de material com permeabilidade constante ou que tenha um entreferro, a relação entre o fluxo magnético ϕ e a corrente i é linear e podemos definir a indutância L como

L = λ i

Lembrando que F = N i , ϕ = F / R t o t e λ = N ϕ , substituindo essas equações na equação acima, temos:

L = N ϕ F N = N 2 ϕ F

L = N 2 ϕ F = N 2 ϕ ϕ R t o t

L = N 2 R t o t

Então, sabendo o número de espiras do enrolamento e a relutância total do circuito podemos determinar a indutância. Vamos fazer um exemplo para você ver que é tranquilo 😊

No circuito magnético abaixo a área da seção reta do núcleo A c e a do entreferro A g é 8   c m 2 , g = 0,04   c m e l c = 20   c m . Supondo que μ r = 60.000 e que a densidade magnética no núcleo é B c = 1,2   T . Encontre a indutância do enrolamento.

Passo 1

Calcular as relutâncias do circuito. Primeiro a do núcleo de material magnético:

R c = l c μ r μ 0 A c

R c = 0,2 ( 60.000 ) ( 4 π × 10 - 7 ) ( 8 × 10 - 4 )

R c = 3315,7   A . e / W b

Agora do entreferro:

R g = g μ 0 A g

R g = 0,04 × 10 - 2 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 8 × 10 - 4 )

R g = 397887,3   A . e / W b

Passo 2

Como o fluxo só tem um caminho para percorrer, o circuito magnético é série. Então, as relutâncias estão associadas em série de forma que a relutância total do circuito é

R t o t = R c + R g

R t o t = 3315,7 + 397887,3

R t o t = 401203,0   A . e / W b

Passo 3

Agora é só aplicar a fórmula abaixo para encontrarmos a indutância:

L = N 2 R t o t

L = 400 2 401203,0

L = 0,399   H

Então é isso: temos que analisar o circuito, determinar a sua relutância total ou relutância equivalente para utilizarmos a fórmula e determinarmos o valor do indutor.

Indutância Própria e Indutância Mútua

Agora, temos o circuito magnético abaixo com o núcleo de comprimento médio do núcleo l c e área da seção reta A c , que é a mesma do entreferro A g .

Devido aos sentidos das correntes, o fluxo produzido pelos dois enrolamentos tem o mesmo sentido. Logo a força magnetomotriz total desse circuito será:

F = N 1 i 1 + N 2 i 2

Normalmente a relutância do entreferro é bem maior do que a relutância do núcleo. Então podemos desconsiderar a relutância do núcleo fazendo com que a F M M seja:

F = ϕ R g

Então, substituindo a primeira equação na segunda e isolando o fluxo, temos:

ϕ = N 1 i 1 + N 2 i 2 R g

Agora, vamos decompor a equação em termos relacionados à mesma corrente:

ϕ = N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

Pela definição, o fluxo concatenado gerado pela bobina 1 pode ser escrito assim:

λ 1 = N 1 ϕ

λ 1 = N 1 N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

λ 1 = N 1 2 i 1 R g + N 1 N 2 i 2 R g

Como

L = N 2 R t o t

Também podemos escrevê-la assim:

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Onde L 11 i 1 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à sua própria corrente e L 11 a indutância própria da bobina 1 , definida como:

L 11 = N 1 2 R g

L 12 é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 :

L 12 = N 1 N 2 R g

E L 12 i 2 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente i 2 .

Na bobina 2 , ocorre o mesmo processo com o seu fluxo concatenado:

λ 2 = N 2 ϕ

λ 2 = N 2 N 1 i 1 R g + N 2 i 2 R g

λ 2 = N 2 N 1 i 2 R g + N 2 2 i 1 R g

Ou

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Onde a indutância mútua é a mesma:

L 21 = L 12

E a indutância própria da bobina 2 é

L 22 = N 2 2 R g

Lembrando que a relutância do entreferro é:

R g = g μ 0 A g

Cuidado com essas fórmulas, não podemos aplica-las direto. Ela é válida para esse exemplo de núcleo com dois enrolamentos e um entreferro. Mas, o procedimento é o mesmo para todos os exercícios.

Agora é exercitar! Partiu!

Indutância Própria e Indutância Mútua

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

N = 83 espiras

Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita ( μ → ∞ ) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.

( a ) Calcule a relutância do núcleo R c e a do entreferro R g .

Para uma corrente de i = 1,5   A , calcule:

( b ) O fluxo total ϕ ;

( c ) O fluxo concatenado da bobina;

( d ) a indutância L da bobina.

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b

Passo 3

O fluxo total será dado por:

ϕ = N i R c + R g

ϕ = 83 × 1,5 0 + 1016823,24

ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b  

Passo 4

O fluxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:

λ = N ϕ

λ = ( 83 ) ( 1,2244 × 10 - 4 )

λ = 1,016 × 10 - 2   W b

Passo 5

Como calculamos o fluxo concatenado e já sabemos o valor da corrente, podemos determinar a indutância utilizando a definição:

L = λ i

L = 1,016 × 10 - 2 1,5

L = 6,77   m H

Resposta

a     R c = 0   A . e / W b                 R g = 1016823,24   A . e / W b  

b ϕ = 1,2244 × 10 - 4   W b

c   λ = 1,016 × 10 - 2   W b

d L = 6,77   m H

Exercício Resolvido #2

O indutor abaixo tem as seguintes dimensões:

A c = 1,0   c m 2

l c = 15   c m

g = 0,8   m m

N = 480   e s p i r a s

Desprezando os campos de espraiamento no entreferro e de dispersão e supondo μ r = 1000 , calcule a indutância.

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ r = 1000 , então a relutância do núcleo será:

R c = 15 × 10 - 2 1000 4 π × 10 - 7 1,0 × 10 - 4

R c = 1193662,7   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 0,8 × 10 - 3 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 1,0 × 10 - 4 )  

R g = 6366197,7   A . e / W b

Passo 3

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = ( 1,19 × 10 6 ) + ( 6,37 × 10 6 )  

R t o t = 7559859,8   A . e / W b

Passo 4

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o enrolamento tem 480 espiras, temos:

L = 480 2 ( 7559859,8 )

L = 30,5     m H

Resposta

L = 30,5   m H

Exercício Resolvido #3

Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:

Área da seção reta A c = 1,8 × 10 - 3 m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 0,6 m

Comprimento do entreferro g = 2,3 × 10 - 3 m

Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita ( μ → ∞ ) , calcule:

( a ) O número necessário de espiras para obter uma indutância de 12   m H .

( b ) A corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de 1,0   T .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero:

R c = 0   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 2,3 × 10 - 3 4 π × 10 - 7 × 1,8 × 10 - 3  

R g = 1016823,24   A . e / W b

R g = 1,017 × 10 6   A . e / W b

Passo 3

A equação que relaciona o número de espiras com a indutância é:

L = N 2 R t o t

A relutância total é a própria relutância do entreferro, já que a relutância do núcleo é zero. Então, para uma indutância de 12   m H , temos:

12 × 10 - 3 = N 2 1,017 × 10 6

N 2 = 12 × 10 - 3 × ( 1,017 × 10 6 )

N 2 = 12204

N = 12204

N = 110   e s p i r a s

Passo 4

Para uma densidade de fluxo de 1,0   T , o fluxo no núcleo será:

ϕ = B A c

ϕ = ( 1,0 ) ( 1,8 × 10 - 3 )

ϕ = 1,8 × 10 - 3   W b

Logo, a F M M gerada será:

F = ϕ R t o t

F = ( 1,8 × 10 - 3 ) ( 1,017 × 10 6 )

F = 1830,6   A . e

Passo 5

Como

F = N i

A corrente pode ser calculada assim:

i = F N

i = 1830,6 110

i = 16,6   A

Resposta

a   N = 110   e s p i r a s

b   i = 16,6   A

Exercício Resolvido #4

Um indutor com a forma da figura abaixo tem as dimensões:

Área da seção reta A c = 3,6   c m 2

Comprimento médio do núcleo l c = 15   c m

N = 75 espiras

Supondo uma permeabilidade de núcleo de μ = 2100 μ 0 e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento, calcule o comprimento de entreferro necessário para se obter uma indutância de 6,0   m H .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ = 2100 μ 0 , então a relutância do núcleo será:

R c = 15 × 10 - 2 2100 4 π × 10 - 7 3,6 × 10 - 4

  R c = 157891,8   A . e / W b

R c = 1,58 × 10 5   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = g ( 4 π × 10 - 7 ) 3,6 × 10 - 4  

R g = g 4,52 × 10 - 10

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = 1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10

Passo 3

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o enrolamento tem 75 espiras, para uma indutância de 6,0   m H , temos:

6,0 × 10 - 3 = 75 2 R t o t

R t o t = 75 2 6,0 × 10 - 3

R t o t = 937500     A . e / W b

Passo 4

Agora vamos igualar a expressão da relutância total com o valor que calculamos:

R t o t = 1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10 = 937500

Vamos isolar g na equação para determinar o comprimento do entreferro:

1,58 × 10 5 + g 4,52 × 10 - 10 = 937500

g 4,52 × 10 - 10 = 937500 - 1,58 × 10 5

g 4,52 × 10 - 10 = 779500

g = 0,00035   m

Resposta

g = 0,00035   m

Exercício Resolvido #5

O circuito magnético abaixo consiste em anéis de material magnético dispostos em uma pilha de altura h . Os anéis têm raio interno R i e externo R e . Suponha que o ferro tenha permeabilidade infinita ( μ → ∞ ) , e despreze os efeitos de dispersão e de espraiamento magnéticos. Para:

R 1 = 3,4   c m R e = 4,0   c m h = 2   c m g = 0,2   c m

Calcule:

a O comprimento médio do núcleo l c e a área da seção reta A c .

b A relutância do núcleo R c e a do entreferro R g .

Para N = 65 espiras, calcule:

( c ) a indutância L .

( d ) A corrente i requerida para que se opere com uma densidade de fluxo no entreferro de B g = 1,35   T .

e O fluxo concatenado correspondente a λ da bobina.

Passo 1

O comprimento médio do núcleo será o comprimento da circunferência de raio

R m = R e + R i 2

Subtraído do comprimento do entreferro, ou seja:

l c = 2 π R m - g

l c = 2 π 4,0 + 3,4 2 - 0,2

l c = 23   c m

Passo 2

A área da seção reta pode ser calculada dando um corte na pilha, tendo a seção reta abaixo:

Então,

A c = R e - R i × h

A c = 4,0 - 3,4 × 2

A c = 1,2   c m 2

Passo 3

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que μ → ∞ , então a relutância do núcleo é zero.

R c = 0   A . e / W b

Passo 4

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = 0,2 × 10 - 2 ( 4 π × 10 - 7 ) 1,2 × 10 - 4  

R g = 1,33 × 10 7   A . e / W b

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = 0 + 1,33 × 10 7  

R t o t = 1,33 × 10 7   A . e / W b

Passo 5

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o enrolamento tem 6 5 espiras, temos:

L = 6 5 2 ( 1,33 × 10 7 )

L = 0,318     m H

Passo 6

Para uma densidade de fluxo de 1,35   T no entreferro, o fluxo no núcleo será:

ϕ = B g A c

ϕ = ( 1,35 ) ( 1,2 × 10 - 4 )

ϕ = 1,62 × 10 - 4   W b

Logo, a F M M gerada será:

F = ϕ R t o t

F = ( 1,62 × 10 - 4 ) ( 1,33 × 10 7 )

F = 2154,6   A . e

Passo 7

Como

F = N i

A corrente pode ser calculada assim:

i = F N

i = 2154,6 65

i = 33,15   A

Passo 8

O fluxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:

λ = N ϕ

λ = ( 65 ) ( 1,62 × 10 - 4 )

λ = 1,053 × 10 - 2   W b

Resposta

a   l c = 23   c m ;   A c = 1,2   c m 2

b   R c = 0   A . e / W b   e   R g = 1,33 × 10 7   A . e / W b

c   L = 0,318     m H

d   i = 33,15   A

e   λ = 1,053 × 10 - 2   W b  

Exercício Resolvido #6

Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada pela figura abaixo:

O núcleo tem seção reta uniforme de área A c = 5,0   c m 2   e comprimento médio l c = 25   c m . Calcule o comprimento do entreferro g e o número de espiras N tais que a indutância seja 14   m H e de modo que o indutor possa operar com corrente de pico de 6   A sem saturação. Suponha que a saturação ocorra quando a densidade de fluxo de pico do núcleo exceda a 1,7   T e que, abaixo da saturação, o núcleo tenha permeabilidade μ = 3200 μ 0 .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que abaixo da saturação μ = 3200 μ 0 , então a relutância do núcleo será:

R c = 25 × 10 - 2 3200 4 π × 10 - 7 5,0 × 10 - 4

R c = 124339,8   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = g ( 4 π × 10 - 7 ) ( 5,0 × 10 - 4 )  

R g = g 20 π × 10 - 11

Passo 3

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = ( 124339,8   ) + g 20 π × 10 - 11  

Passo 4

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o queremos uma indutância de 14   m H :

14 × 10 - 3 = N 2 ( 124339,8   ) + g 20 π × 10 - 11

N 2 = 1740,7 + 14 × 10 - 3 20 π × 10 - 11 g

N 2 = 1740,7 + 22281692 g       ( i )

Passo 5

Como a densidade de fluxo máxima é B = 1,7   T e a área é A c = 5,0   c m 2 , podemos calcular o fluxo que circula por esse núcleo.

ϕ = B A c

ϕ = 1,7 5,0 × 10 - 4

ϕ = 8,5 × 10 - 4   W b

Passo 6

Podemos calcular a F M M pela fórmula abaixo:

F = R t o t ϕ

Como F = N i , temos:

N i = 124339,8   + g 20 π × 10 - 11 8,5 × 10 - 4

Como a corrente é 6   A :

N 6 = 124339,8   + g 20 π × 10 - 11 8,5 × 10 - 4

6 N = 105,7 + 1352817,0 g       ( i i )

Passo 7

Temos duas equações com duas incógnitas:

N 2 = 1740,7 + 22281692 g       ( i ) 6 N = 105,7 + 1352817,0 g             ( i i )

Então, vamos isolar g na primeira equação e substituí-lo na segunda:

6 N = 105,7 + 1352817,0 N 2 - 1740,7 22281692

6 N = 105,7 + 1352817,0 N 2 - 2354848552 22281692

6 N = 105,7 + 0,0607 N 2 - 105,7

6 N = 0,0607 N 2

0,0607 N 2 - 6 N = 0

N 0,0607 N - 6 = 0

Como o número de espiras não pode ser zero, temos:

0,0607 N - 6 = 0

N = 6 0,0607

N = 99   e s p i r a s

Passo 8

Agora que temos o número de espiras, vamos substituir em uma das equações para encontrarmos o comprimento do entreferro. Da primeira equação, temos:

g = N 2 - 1740,7 22281692

Como N = 99 :

g = 99 2 - 1740,7 22281692

g = 9801 - 1740,7 22281692

g = 0,362   m m

Resposta

N = 99   e s p i r a s

g = 0,32   m m

Exercício Resolvido #7

O circuito magnético abaixo tem dois enrolamentos e dois entreferros. Pode-se supor que o núcleo tenha permeabilidade infinita. As dimensões do núcleo são indicadas na figura.

a Suponha que a bobina 1 esteja conduzindo uma corrente i 1 e a corrente na bobina 2 seja zero, calcule ( i ) a densidade de fluxo magnético em cada um dos entreferros, ( i i ) o fluxo concatenado do enrolamento 1 e i i i o fluxo concatenado do enrolamento 2 .

b Repita a parte ( a ) , supondo uma corrente zero no enrolamento 1 e uma corrente i 2 no enrolamento 2 .

( c ) Repita a parte ( a ) , supondo que a corrente do enrolamento 1 seja i 1 e a corrente do enrolamento 2 seja i 2 .

( d ) Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 , e a indutância mútua entre os enrolamentos.

Passo 1

Esse circuito magnético é um pouco complicado de se analisar diretamente. Então, vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e elétricos e desenhar o circuito associado a esse problema.

Como a permeabilidade do núcleo é infinita, sua relutância é zero. Então, vamos considerar apenas as relutâncias do entreferro. Além disso, devido aos dois enrolamentos teremos duas F M M s . Portanto, desenhando o circuito temos:

Onde as relutâncias dos entreferros são:

R g 1 = g 1 μ 0 A 1                         e                         R g 2 = g 2 μ 0 A 2

Passo 2

Na letra ( a ) a bobina 1 tem uma corrente i 1 e i 2 = 0 . Logo, F 2 = 0 , o que significa que podemos substituí-la por um curto-circuito.

Primeiro, temos que determinar a densidade de fluxo em cada entreferro. A densidade de fluxo do primeiro entreferro pode ser calculada pela divisão entre o fluxo que passa por ele ( ϕ 3 ) e a área da sua seção reta ( A 1 ) :

B g 1 = ϕ 3 A 1

Pela analogia entre circuitos elétricos e magnéticos, sabemos que:

F = R ϕ

Logo, o fluxo que passa pelo primeiro entreferro pode ser determinado assim:

ϕ 3 = F 1 R g 1

Como

F 1 = N 1 i 1                   e                 R g 1 = g 1 μ 0 A 1

Substituindo:

ϕ 3 = N 1 i 1 g 1 μ 0 A 1

ϕ 3 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1

Passo 3

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no primeiro entreferro será:

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 × 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1

Passo 4

Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

A segunda relutância está em paralelo com a primeira. Logo, nela também está sendo aplicada a mesma F M M .

ϕ 2 = F 1 R g 2

ϕ 2 = N 1 i 1 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 g 2

Passo 5

No item ( i i ) , temos que determinar o fluxo concatenado do enrolamento 1 . Pela definição, o fluxo concatenado é o produto entre o número de espiras da bonina e o fluxo que passa por essa bobina. Então, para a bobina 1 , temos:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Analisando o nó do nosso circuito, temos que

ϕ 1 = ϕ 3 + ϕ 2

Logo, o fluxo concatenado da primeira bobina será:

λ 1 = N 1 ( ϕ 3 + ϕ 2 )

Substituindo os fluxos pelos seus valores que determinamos anteriormente:

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1

Passo 6

Da mesma forma, no item ( i i i ) , o fluxo concatenado da bobina 2 é

λ 2 = N 2 ϕ 2

Como ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Temos:

λ 2 = N 2 μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1

Passo 7

Agora, vamos fazer a mesma análise para a letra ( b ) . Para essa letra, i 1 = 0 e na bobina 2 circula uma corrente i 2 . Logo, podemos substituir por um curto-circuito a fonte F 1 e analisar o circuito abaixo:

Nesse caso o fluxo que passa pelo primeiro entreferro ( ϕ 3 ) é zero, já que todo o fluxo produzido pela F M M 2 passará pelo curto-circuito. Logo:

ϕ 3 = 0

ϕ 1 = ϕ 2

Como ϕ 3 = 0 , a densidade de fluxo no primeiro entreferro é zero.

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = 0 A 1

B g 1 = 0

Passo 8

No segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

Como analisamos, podemos desconsiderar R g 1 , já que não passa fluxo algum por ela. Então, podemos reduzir nosso circuito:

Então, temos o circuito mais simples possível, com uma fonte em série com uma relutância, e o fluxo que passa pelo segundo entreferro ( R g 2 ) é

ϕ 2 = F 2 R g 2

ϕ 2 = N 2 i 2 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 g 2

Passo 9

Agora, vamos fazer o item ( i i ) . O fluxo concatenado do enrolamento 1 é definido como:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Como ϕ 1 = ϕ 2 , temos:

λ 1 = N 1 μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Passo 10

Já no item i i i temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.

λ 2 = N 2 ϕ 2

Substituindo:

λ 2 = N 2 μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Passo 11

Agora, na letra ( c ) , ambos os enrolamentos possuem corrente. Logo, temos que considerar as duas F M M s .

Como a relutância do primeiro entreferro está ligada em paralelo com F 1 , temos:

ϕ 3 = F 1 R g 1

ϕ 3 = N 1 i 1 g 1 μ 0 A 1

ϕ 3 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade de fluxo no primeiro entreferro será:

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 × 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1

Passo 12

Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

Agora temos que ter cuidado ao calcular ϕ 2 , já que F 2 não está ligada diretamente a relutância. Então, vamos usar um método de análise que já conhecemos de circuitos elétricos: o método da superposição.

Vamos considerar a contribuição de cada fonte para gerar o ϕ 2 e depois soma-las. Então:

ϕ 2 = ϕ 2 ' + ϕ 2 ' '

Onde ϕ 2 ' é a contribuição da fonte   F 1 e ϕ 2 ' ' é a contribuição da fonte F 2 .

Pelo método da superposição, quando queremos determinar a contribuição de uma das fontes temos que desligar a outra. Logo, como as fontes são análogas às fontes de tensão, desliga-las é o mesmo que substituí-las por um curto-circuito.

Considerando apenas a primeira fonte temos o circuito abaixo:

Esse é o mesmo circuito que analisamos na letra ( a ) , está lembrado?

Para esse circuito:

ϕ 2 ' = F 1 R g 2

ϕ 2 ' = N 1 i 1 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 ' = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Passo 13

Agora vamos considerar apenas a segunda fonte:

Esse é o mesmo circuito que utilizamos na letra ( b ) . Como tínhamos analisado, podemos desconsiderar R g 1 , já que não passa fluxo algum por ela, e reduzir nosso circuito:

Então, o fluxo que passa pelo segundo entreferro ( R g 2 ) é

ϕ 2 ' ' = F 2 R g 2

ϕ 2 ' ' = N 2 i 2 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 ' ' = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

Portanto, o fluxo total que passa pelo segundo entreferro será:

ϕ 2 = ϕ 2 ' + ϕ 2 ' '

ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 + μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

ϕ 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

Passo 14

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2 A 2

B g 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 + N 2 i 2 g 2

Passo 15

Agora, vamos fazer o item ( i i ) . O fluxo concatenado do enrolamento 1 é definido como:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Analisando o nó do nosso circuito, temos que

ϕ 1 = ϕ 3 + ϕ 2

Logo:

λ 1 = N 1 ( ϕ 3 + ϕ 2 )

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 + μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Passo 16

Já no item i i i temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.

λ 2 = N 2 ϕ 2

Substituindo:

λ 2 = N 2 N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Passo 17

Estamos quase terminando! Na letra ( d ) temos que determinar as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 , e a indutância mútua entre os enrolamentos. Vamos começar pelo primeiro enrolamento.

A fórmula que relaciona fluxo concatenado e indutância é essa:

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Onde L 11 é a indutância própria do enrolamento 1 e L 12 é a indutância mútua entre os enrolamentos.

Na letra ( c ) , tínhamos calculado o fluxo concatenado da primeira bobina:

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Comparando com

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Vemos que a indutância própria do enrolamento 1 é toda expressão que está multiplicando a corrente i 1 e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.

Logo,

L 11 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2

E

L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

Passo 18

Agora vamos fazer a mesma análise para a bobina 2 .

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Onde L 21 = L 12 é a indutância mútua e L 22 é a indutância própria do segundo enrolamento.

Na letra ( c ) , tínhamos calculado o fluxo concatenado da segunda bobina:

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Comparando com

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Vemos que a indutância própria do enrolamento 2 é toda expressão que está multiplicando a corrente i 2 e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.

Logo,

L 22 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2

E

L 21 = L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

Resposta

a       i   B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1 ;   B g 2 = μ 0 N 1 i 1 g 2                   i i   λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1                   i i i   λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1

b       i   B g 1 = 0 ;   B g 2 = μ 0 N 2 i 2 g 2                         i i   λ 1 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2                     i i i   λ 2 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

c       i   B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1 ;   B g 2 = μ 0 N 1 i 1 + N 2 i 2 g 2                                 i i   λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2               i i i   λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

d   L 11 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 ;   L 22 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 ;   L 21 = L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

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