Fluxo Concatenado e Indutância
Teoria
Fluxo Concatenado
De acordo com a lei de Faraday, quando o campo magnético varia no tempo produz-se um campo elétrico no espaço:
Calma, a gente não vai precisar calcular integral, só precisamos entender o que essa equação quer dizer. Como o fluxo é
Podemos reescrever a lei de Faraday assim:
Essa equação determina que a integral de linha da intensidade do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é igual à variação de fluxo magnético no tempo que passa através desse caminho fechado.
Esse fluxo que passa através do caminho fechado é chamado de fluxo concatenado e é definido como
Onde é o número de espiras do enrolamento (caminho fechado ) e é o valor instantâneo de um fluxo que varia no tempo.
Indutância
Em um circuito magnético, formado por um núcleo de material com permeabilidade constante ou que tenha um entreferro, a relação entre o fluxo magnético e a corrente é linear e podemos definir a indutância como
Lembrando que , e , substituindo essas equações na equação acima, temos:
Então, sabendo o número de espiras do enrolamento e a relutância total do circuito podemos determinar a indutância. Vamos fazer um exemplo para você ver que é tranquilo 😊
No circuito magnético abaixo a área da seção reta do núcleo e a do entreferro é , e . Supondo que e que a densidade magnética no núcleo é . Encontre a indutância do enrolamento.
Passo 1
Calcular as relutâncias do circuito. Primeiro a do núcleo de material magnético:
Agora do entreferro:
Passo 2
Como o fluxo só tem um caminho para percorrer, o circuito magnético é série. Então, as relutâncias estão associadas em série de forma que a relutância total do circuito é
Passo 3
Agora é só aplicar a fórmula abaixo para encontrarmos a indutância:
Então é isso: temos que analisar o circuito, determinar a sua relutância total ou relutância equivalente para utilizarmos a fórmula e determinarmos o valor do indutor.
Indutância Própria e Indutância Mútua
Agora, temos o circuito magnético abaixo com o núcleo de comprimento médio do núcleo e área da seção reta , que é a mesma do entreferro .
Devido aos sentidos das correntes, o fluxo produzido pelos dois enrolamentos tem o mesmo sentido. Logo a força magnetomotriz total desse circuito será:
Normalmente a relutância do entreferro é bem maior do que a relutância do núcleo. Então podemos desconsiderar a relutância do núcleo fazendo com que a seja:
Então, substituindo a primeira equação na segunda e isolando o fluxo, temos:
Agora, vamos decompor a equação em termos relacionados à mesma corrente:
Pela definição, o fluxo concatenado gerado pela bobina pode ser escrito assim:
Como
Também podemos escrevê-la assim:
Onde é o fluxo concatenado da bobina devido à sua própria corrente e a indutância própria da bobina , definida como:
Já é a indutância mútua entre as bobinas e :
E é o fluxo concatenado da bobina devido à corrente .
Na bobina , ocorre o mesmo processo com o seu fluxo concatenado:
Ou
Onde a indutância mútua é a mesma:
E a indutância própria da bobina é
Lembrando que a relutância do entreferro é:
Cuidado com essas fórmulas, não podemos aplica-las direto. Ela é válida para esse exemplo de núcleo com dois enrolamentos e um entreferro. Mas, o procedimento é o mesmo para todos os exercícios.
Agora é exercitar! Partiu!
Indutância Própria e Indutância Mútua
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Livro Fitzgerald, p.56, Problema 1.1
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:
Área da seção reta
Comprimento médio do núcleo
Comprimento do entreferro
espiras
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro.
Calcule a relutância do núcleo e a do entreferro .
Para uma corrente de , calcule:
O fluxo total ;
O fluxo concatenado da bobina;
a indutância da bobina.
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Passo 3
O fluxo total será dado por:
Passo 4
O fluxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:
Passo 5
Como calculamos o fluxo concatenado e já sabemos o valor da corrente, podemos determinar a indutância utilizando a definição:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Livro Fitzgerald, p.59, Problema 1.13
O indutor abaixo tem as seguintes dimensões:
Desprezando os campos de espraiamento no entreferro e de dispersão e supondo , calcule a indutância.
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo será:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Passo 3
Então, a relutância total desse circuito magnético:
Passo 4
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o enrolamento tem espiras, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Livro Fitzgerald, p.57, Problema 1.3 (adaptado)
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As dimensões do núcleo são:
Área da seção reta
Comprimento médio do núcleo
Comprimento do entreferro
Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita , calcule:
O número necessário de espiras para obter uma indutância de .
A corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de .
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Passo 3
A equação que relaciona o número de espiras com a indutância é:
A relutância total é a própria relutância do entreferro, já que a relutância do núcleo é zero. Então, para uma indutância de , temos:
Passo 4
Para uma densidade de fluxo de , o fluxo no núcleo será:
Logo, a gerada será:
Passo 5
Como
A corrente pode ser calculada assim:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Livro Fitzgerald, p.58, Problema 1.8
Um indutor com a forma da figura abaixo tem as dimensões:
Área da seção reta
Comprimento médio do núcleo
espiras
Supondo uma permeabilidade de núcleo de e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento, calcule o comprimento de entreferro necessário para se obter uma indutância de .
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo será:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Então, a relutância total desse circuito magnético:
Passo 3
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o enrolamento tem espiras, para uma indutância de , temos:
Passo 4
Agora vamos igualar a expressão da relutância total com o valor que calculamos:
Vamos isolar na equação para determinar o comprimento do entreferro:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Livro Fitzgerald, p.58, Problema 1.9
O circuito magnético abaixo consiste em anéis de material magnético dispostos em uma pilha de altura . Os anéis têm raio interno e externo . Suponha que o ferro tenha permeabilidade infinita , e despreze os efeitos de dispersão e de espraiamento magnéticos. Para:
Calcule:
O comprimento médio do núcleo e a área da seção reta
A relutância do núcleo e a do entreferro .
Para espiras, calcule:
a indutância .
A corrente requerida para que se opere com uma densidade de fluxo no entreferro de .
O fluxo concatenado correspondente a da bobina.
Passo 1
O comprimento médio do núcleo será o comprimento da circunferência de raio
Subtraído do comprimento do entreferro, ou seja:
Passo 2
A área da seção reta pode ser calculada dando um corte na pilha, tendo a seção reta abaixo:
Então,
Passo 3
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero.
Passo 4
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Então, a relutância total desse circuito magnético:
Passo 5
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o enrolamento tem espiras, temos:
Passo 6
Para uma densidade de fluxo de no entreferro, o fluxo no núcleo será:
Logo, a gerada será:
Passo 7
Como
A corrente pode ser calculada assim:
Passo 8
O fluxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Livro Fitzgerald, p.61, Problema 1.17 (adaptado)
Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada pela figura abaixo:
O núcleo tem seção reta uniforme de área e comprimento médio . Calcule o comprimento do entreferro e o número de espiras tais que a indutância seja e de modo que o indutor possa operar com corrente de pico de sem saturação. Suponha que a saturação ocorra quando a densidade de fluxo de pico do núcleo exceda a e que, abaixo da saturação, o núcleo tenha permeabilidade .
Passo 1
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que abaixo da saturação , então a relutância do núcleo será:
Passo 2
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Passo 3
Então, a relutância total desse circuito magnético:
Passo 4
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o queremos uma indutância de :
Passo 5
Como a densidade de fluxo máxima é e a área é , podemos calcular o fluxo que circula por esse núcleo.
Passo 6
Podemos calcular a pela fórmula abaixo:
Como , temos:
Como a corrente é :
Passo 7
Temos duas equações com duas incógnitas:
Então, vamos isolar na primeira equação e substituí-lo na segunda:
Como o número de espiras não pode ser zero, temos:
Passo 8
Agora que temos o número de espiras, vamos substituir em uma das equações para encontrarmos o comprimento do entreferro. Da primeira equação, temos:
Como :
Resposta
Exercício Resolvido #7
Livro Fitzgerald, p.63, Problema 1.22
O circuito magnético abaixo tem dois enrolamentos e dois entreferros. Pode-se supor que o núcleo tenha permeabilidade infinita. As dimensões do núcleo são indicadas na figura.
Suponha que a bobina esteja conduzindo uma corrente e a corrente na bobina seja zero, calcule a densidade de fluxo magnético em cada um dos entreferros, o fluxo concatenado do enrolamento e o fluxo concatenado do enrolamento .
Repita a parte , supondo uma corrente zero no enrolamento e uma corrente no enrolamento .
Repita a parte , supondo que a corrente do enrolamento seja e a corrente do enrolamento seja .
Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos e , e a indutância mútua entre os enrolamentos.
Passo 1
Esse circuito magnético é um pouco complicado de se analisar diretamente. Então, vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e elétricos e desenhar o circuito associado a esse problema.
Como a permeabilidade do núcleo é infinita, sua relutância é zero. Então, vamos considerar apenas as relutâncias do entreferro. Além disso, devido aos dois enrolamentos teremos duas . Portanto, desenhando o circuito temos:
Onde as relutâncias dos entreferros são:
Passo 2
Na letra a bobina tem uma corrente e . Logo, , o que significa que podemos substituí-la por um curto-circuito.
Primeiro, temos que determinar a densidade de fluxo em cada entreferro. A densidade de fluxo do primeiro entreferro pode ser calculada pela divisão entre o fluxo que passa por ele e a área da sua seção reta :
Pela analogia entre circuitos elétricos e magnéticos, sabemos que:
Logo, o fluxo que passa pelo primeiro entreferro pode ser determinado assim:
Como
Substituindo:
Passo 3
Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no primeiro entreferro será:
Passo 4
Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:
A segunda relutância está em paralelo com a primeira. Logo, nela também está sendo aplicada a mesma .
Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:
Passo 5
No item , temos que determinar o fluxo concatenado do enrolamento . Pela definição, o fluxo concatenado é o produto entre o número de espiras da bonina e o fluxo que passa por essa bobina. Então, para a bobina , temos:
Analisando o nó do nosso circuito, temos que
Logo, o fluxo concatenado da primeira bobina será:
Substituindo os fluxos pelos seus valores que determinamos anteriormente:
Passo 6
Da mesma forma, no item , o fluxo concatenado da bobina é
Como
Temos:
Passo 7
Agora, vamos fazer a mesma análise para a letra . Para essa letra, e na bobina circula uma corrente . Logo, podemos substituir por um curto-circuito a fonte e analisar o circuito abaixo:
Nesse caso o fluxo que passa pelo primeiro entreferro é zero, já que todo o fluxo produzido pela passará pelo curto-circuito. Logo:
Como , a densidade de fluxo no primeiro entreferro é zero.
Passo 8
No segundo entreferro teremos:
Como analisamos, podemos desconsiderar , já que não passa fluxo algum por ela. Então, podemos reduzir nosso circuito:
Então, temos o circuito mais simples possível, com uma fonte em série com uma relutância, e o fluxo que passa pelo segundo entreferro é
Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:
Passo 9
Agora, vamos fazer o item . O fluxo concatenado do enrolamento é definido como:
Como , temos:
Passo 10
Já no item temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.
Substituindo:
Passo 11
Agora, na letra , ambos os enrolamentos possuem corrente. Logo, temos que considerar as duas .
Como a relutância do primeiro entreferro está ligada em paralelo com , temos:
Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade de fluxo no primeiro entreferro será:
Passo 12
Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:
Agora temos que ter cuidado ao calcular , já que não está ligada diretamente a relutância. Então, vamos usar um método de análise que já conhecemos de circuitos elétricos: o método da superposição.
Vamos considerar a contribuição de cada fonte para gerar o e depois soma-las. Então:
Onde é a contribuição da fonte e é a contribuição da fonte .
Pelo método da superposição, quando queremos determinar a contribuição de uma das fontes temos que desligar a outra. Logo, como as fontes são análogas às fontes de tensão, desliga-las é o mesmo que substituí-las por um curto-circuito.
Considerando apenas a primeira fonte temos o circuito abaixo:
Esse é o mesmo circuito que analisamos na letra , está lembrado?
Para esse circuito:
Passo 13
Agora vamos considerar apenas a segunda fonte:
Esse é o mesmo circuito que utilizamos na letra . Como tínhamos analisado, podemos desconsiderar , já que não passa fluxo algum por ela, e reduzir nosso circuito:
Então, o fluxo que passa pelo segundo entreferro é
Portanto, o fluxo total que passa pelo segundo entreferro será:
Passo 14
Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:
Passo 15
Agora, vamos fazer o item . O fluxo concatenado do enrolamento é definido como:
Analisando o nó do nosso circuito, temos que
Logo:
Passo 16
Já no item temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.
Substituindo:
Passo 17
Estamos quase terminando! Na letra temos que determinar as indutâncias próprias dos enrolamentos e , e a indutância mútua entre os enrolamentos. Vamos começar pelo primeiro enrolamento.
A fórmula que relaciona fluxo concatenado e indutância é essa:
Onde é a indutância própria do enrolamento e é a indutância mútua entre os enrolamentos.
Na letra , tínhamos calculado o fluxo concatenado da primeira bobina:
Comparando com
Vemos que a indutância própria do enrolamento é toda expressão que está multiplicando a corrente e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.
Logo,
E
Passo 18
Agora vamos fazer a mesma análise para a bobina .
Onde é a indutância mútua e é a indutância própria do segundo enrolamento.
Na letra , tínhamos calculado o fluxo concatenado da segunda bobina:
Comparando com
Vemos que a indutância própria do enrolamento é toda expressão que está multiplicando a corrente e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.
Logo,
E