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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 45

45. Use superposição para determinar i ( t ) no circuito da figura 10.90

Passo 1

Fala galerinha! Bora pra mais um probleminha sobre superposição em circuitos C A .

Olha só! Na figura do enunciado, há a presença de duas fontes de tensão alternada, só que em frequência diferentes

O que precisamos fazer pra esse caso, é analisar a influência isolada de cada fonte no circuito. Ou seja, iremos considerar cada fonte separadamente, e a corrente elétrica total em qualquer ramo do circuito é igual a soma algébrica das tensões produzidas por cada fonte atuando separadamente.

Ou seja, bora chamar de i 1 a corrente no circuito apenas com a fonte de 16 cos ⁡ 10 t + 30 °   V e i 2 , a corrente no circuito com a tensão de 6 sen ⁡ ( 4 t )   V . Depois, somaremos a duas para obter i .

Vamos então, por a mão na massa.

Passo 2

Primeiramente, vamos retirar a fonte de tensão alternada da direita.

E passar os elementos pro domínio da frequência:

16 cos ⁡ 10 t + 30 ° → 16 ∠ 30 °     ,   ω = 10   r a d / s

300   m H → j ω L = j ( 10 ⋅ 0,3 ) = j 3   Ω

Nosso circuito, tem então, a seguinte cara:

Já que temos apenas uma malha. Para achar a corrente i 1 , basta dividir a tensão pela impedância equivalente nesse circuito:

i 1 = 16 ∠ 30 °   V 20 + j 3   Ω

i 1 = 16 ∠ 30 °   V 20,22 ∠ 8,33 °   Ω

i 1 = 0,7913 ∠ 21,47 °

Passando essa corrente pro domínio do tempo...

i 1 ( t ) = 0,7913 cos ⁡ ( 10 t + 21,47 ° )

Passo 3

Agora, vamos excluir a fonte de tensão alternada localizada à esquerda do circuito na figura do enunciado.

E já sabe, né! Primeira coisa a se fazer é passar os elementos pro domínio da frequência:

6 sen ⁡ 4 t → 6 ∠ 0 °     ,   ω = 4   r a d / s

300   m H → j ω L = j 4 ⋅ 0,3 = j 1,2   Ω

Olha! Eu sei que seria legal fazer o esboço de como ficaria o circuito pra esse caso. Mas tá na cara que vai ser do mesmo jeito que no P a s s o   2 . Basta dividir a tensão equivalente pela impedância total, composta pelo resistor e pelo indutor de j 1,2   Ω . Sendo assim, a corrente i 2 é dada por:

i 2 = - 6 ∠ 0 °   V 20 + j 1,2   Ω

O sinal negativo, advém do fato que ao passar pela fonte de tensão, a corrente gera uma queda de tensão. Voltando aos cálculos...

i 2 = - 6 ∠ 0 °   V 20 + j 1,2   Ω

i 2 = 6 ∠ 180 °   V 20,036 ∠ 3,43 °   Ω

i 2 = 0,2995 ∠ 176,57 °   A

Passando para o domínio do tempo...

i 2 ( t ) = 0,2995 sen ⁡ 4 t + 176,57 °   A

Passo 4

Por fim, temos apenas que somar as correntes i 1 e i 2 para obter a corrente i :

i = i 1 ( t ) + i 2 ( t )

i = [ 0,7913 cos ⁡ ( 10 t + 21,47 ° ) + 0,2995 sen ⁡ 4 t + 176,57 ° ]   A

i = [ 791,3 cos ⁡ 10 t + 21,47 ° + 299,5 sen ⁡ 4 t + 176,57 ° ]   m A

Resposta

i = [ 791,3 cos ⁡ 10 t + 21,47 ° + 299,5 sen ⁡ 4 t + 176,57 ° ]   m A

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