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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 43a

Calcule a frequência de ressonância de cada um dos circuitos da F i g u r a   14.82

Passo 1

Mas uma vez, vamos achar a frequência de ressonância ω 0 pela impedância.

Pela definição, ω 0 ocorre quando a reatância é nula.

Então equacionaremos a impedância como:

Z = R + j X

Para depois equacionar ω 0   .

Se estiver esquecido, lembre que:

Z   = Impedância, e é escrito como um número complexo.

R = Resistência, e é um número Real.

j   = Unidade imaginária - 1 , que é necessária nas deduções.

X = é a Reatância, e é o argumento que acompanha j

Lembre-se tb das propriedades de j nas simplificações!

j = - 1

    j 2 = - 1

1 j = - j  

Passo 2

Impedância será:

Z =   1 j ω C   ∥     R + j ω L

Z = 1 j ω C ⋅ R + j ω L 1 j ω C + R + j ω L

Z = R j ω C + j ω L j ω C - j 1 ω C + R + j ω L

Z = L C + R j ω C R + j ω L - 1 ω C

Multiplicando pelo conjugado para retirar j do denominador:

Z = L C + R j ω C R + j ω L - 1 ω C ⋅ R - j ω L - 1 ω C R - j ω L - 1 ω C

Fazendo a distributiva e simplificando algumas coisas:

Z = L C R - j L C ω L - 1 ω C + R 2 j ω C - j R j ω C ω L - 1 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2

Z = L C R - j L C ω L - 1 ω C - j R 2 ω C - R ω C ω L - 1 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2

Separando real de argumento,

Z = L C R - R ω C ω L - 1 ω C - j L C ω L - L C 1 ω C - j R 2 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2

Z = L C R - R ω C ω L - 1 ω C ⏞ R e a l - j L 2 C ω - L C 2 ω + R 2 ω C ⏞ a r g u m e n t o R 2 + ω L - 1 ω C 2

Separado a fração em duas partes:

Z = L C R - R ω C ω L - 1 ω C ⏞ R e a l R 2 + ω L - 1 ω C 2 - j L 2 C ω - L C 2 ω + R 2 ω C ⏞ a r g u m e n t o R 2 + ω L - 1 ω C 2

Passo 3

Ok, o argumento é a reatância X que iremos igualar a zero, não nos interessa mais a parte real e o valor de Z , o queremos é achar ω 0 .  

L 2 C ω - L C 2 ω + R 2 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0

L 2 ω C   - L C 2 ω + R 2 ω C = 0

Tiramos o M M C e:

C 3 ω 2 L 2 ω - C 2 ω L + C 3 ω R 2 C 4 ω 2 = 0

C 2 ω ( C L 2 ω 2 - L + C R 2 ) = 0

C L 2 ω 2 = L - C R 2

ω 2 = L - C R 2 C L 2

ω 2 = L C L 2 - C R 2 C L 2

ω 2 = 1 L C - R 2 L 2

E finalmente:

ω = ω 0   = 1 L C - R 2 L 2

The end.

Resposta

ω 0   = 1 L C - R 2 L 2

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