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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 34

No momento em que a chave no circuito da Figura P7.34 é fechada, a tensão nos capacitores em paralelo é 50 V e a tensão no capacitor de 250 nF é 40 V.

a) Qual percentagem da energia inicial armazenada nos três capacitores é dissipada no resistor de 24 k Ω ?

b) Repita (a) para os resistores de 400 Ω e 16 k Ω .

c) Qual percentagem da energia inicial é retida nos capacitores?

Passo 1

[a] – O circuito equivalente para t > 0 :

Sendo a tensão nesse capacitor igual a 10   V , e uma tensão v 0 no resistor equivalente. Com isso, já sabemos a constante de tempo τ .

τ = 200 × 10 - 9 10 × 10 3 = 2   m s

E sua inversa:

1 τ = 1 2 × 10 - 3 = 500

Assim, podemos ter v 0   e   i 0 :

v 0 = 10 e - 500 t   V ,     t ≥ 0

i 0 = e - 500 t   m A ,     t ≥ 0 +

Para o resistor de 24   k Ω , tem-se:

i 24 k Ω = e - 500 t 16 40 = 0,4 e - 500 t   m A ,     t ≥ 0 +

Já que sabemos a corrente nesse resistor, podemos calcular a potência (Lembre-se: P = R i 2 )

p 24 k Ω = 0,16 × 10 - 6 e - 1000 t 24000 = 3,84 e - 1000 t   m W

E se temos, podemos ter o quê? (Isso mesmo, a energia armazenada, basta calcular a integral)

w 24 k Ω =   ∫ 0 ∞ 3,84 × 10 - 3 e - 1000 t   d t =   - 3,84 × 10 - 6 0 - 1 = 3,84   μ J

Agora, partindo para a energia inicial:

w 0 = 1 2 0,25 × 10 - 6 40 2 + 1 2 1 × 10 - 6 50 2 = 1,45   m J

Com todas essas informações, podemos ver a porcentagem dissipada

% d i s s i p a d a 24   k Ω = 3,84 × 10 - 6 1,45 × 10 - 3 × 100 = 0,26 %

Passo 2

[c] – Agora para os resistores de 400 Ω e 16   k Ω :

Resistor de 400 Ω :

p 400 Ω = 400 1 × 10 - 3 e - 500 t 2 = 0,4 × 10 - 3 e - 1000 t

w 400 Ω =   ∫ 0 ∞ p 400   d t = 0,40   μ J

% d i s s i p a d a 400   Ω = 0,4 × 10 - 6 1,45 × 10 - 3 × 100 = 0,03   %  

Resistor de 16 k Ω :

i 16 k Ω = e - 500 t   24 40 = 0,6 e - 500 t   m A ,     t ≥ 0 +

p 16 k Ω = 0,6 × 10 - 3 e - 500 t 2 × 16000 = 5,76 × 10 - 3 e - 1000 t   W

w 16 k Ω = ∫ 0 ∞ 5,76 × 10 - 3 e - 1000 t   d t = 5,76   μ J

% d i s s i p a d a 16 k Ω =   0,4 %

Passo 3

[c] – Agora é fazer o somatório das energias:

∑ w d i s s i p a d a = 3,84 + 5,76 + 0,4 = 10   μ J

A energia retida é a energia inicial menos o somatório da energia dissipada, com isso, temos:

w r e t i d a = w 0 - ∑ w d i s s i p a d a = 1,45 × 10 - 3 - 10 × 10 - 6 = 1,44   m J

Logo, a porcentagem de energia retida é igual a:

% r e t i d a = 1,44 1,45 × 100 = 99,31   %

Resposta

a )   % d i s s i p a d a 24   k Ω = 0,26 %

b )   % d i s s i p a d a 400   Ω = 0,03 %

% d i s s i p a d a 16 k Ω =   0,4 %

c )   % r e t i d a =   99,31   %  

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