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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.7 - Ex. 1

Calcule x , t > 0 , onde

(d x)/(d t) + 2 x + int_0^t x d t = f (t)

x (0) = - 1

E ( a ) f (t) = 1 e (b) f (t) = t^2

Passo 1

Fala galera, primeiramente temos que transformar essa equação em uma equação diferencial e para isso vamos deriva-la. Feito isso, iremos calcular sua frequência natural, a partir da sua equação característica (que será igual na letra (a) e (b), pois a frequência natural não depende da excitação f ( t ) .)

Com a frequência natural, vamos calcular a resposta natural x_n , depois disso, vamos calcular a resposta forçada x_f (que será diferente para a letra (a) e (b)).

E por fim, com a resposta natural mais a forçada, vamos encontrar as constantes a partir da condição inicial dada.

Então, bora lá!

Passo 2

Diferenciando a equação dada, teremos:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = (d f (t))/(d t)

A equação característica será:

s^2 + 2 s + 1 = 0

Resolvendo ela, encontramos:

Delta = 4 - 4 xx 1 xx 1 = 0

Portanto, teremos duas frequências naturais iguais e estamos no caso de amortecimento crítico.

A frequência natural é:

s = (- 2 +- sqrt(0))/(2 xx 1)

s = - 1

Portanto, a resposta natural é dada como:

x_n = (A_1 + A_2 t) e^(s t)

x_n = (A_1 + A_2 t) e^(- t)

Passo 3

Bom, vamos agora encontrar a resposta forçada para a letra (a).

Na letra (a), temos que f (t) = 1

E a nossa equação diferencial era:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = (d f (t))/(d t)

Opa, como f ( t ) é uma constante, sua derivada vai ser igual a zero.

Logo, nossa equação diferencial para a letra (a) é:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = 0

Como o lado direito da equação é zero, isso significa que não há resposta forçada, apenas a natural.

x = x_n

x = (A_1 + A_2 t) e^(- t)

Vamos substituir, portanto, a nossa condição inicial

x (0) = - 1

(A_1 + A_2 xx 0) e^(- 0) = - 1

A_1 = - 1

Agora, para encontrar A_2 , vamos procurar pelo valor da derivada de x , no tempo t = 0 . Para isso, vamos usar a nossa equação integro-diferencial dada no início, para o tempo t = 0 :

(d x ( 0 ))/(d t) + 2 x (0) + int_0^0 x d t = f (0)

Conhecemos x (0) , a integral que vai de zero até zero terá um valor nulo e f (0) = 1 , afinal a excitação é constante e vale 1 , nesse caso.

(d x (0))/(d t) + 2 (- 1) + 0 = 1

(d x (0))/(d t) = 3

Agora, vamos diferenciar a nossa resposta x ( t ) , para poder usar essa condição inicial.

x ( t ) = (- 1 + A_2 t) e^(- t)

(Cuidado com a regra do produto).

(d x ( t ))/(d t) = A_2 e^(- t) + (- 1 + A_2 t) xx - e^(- t)

(d x (t))/(d t) = e^(- t) (A_2 + 1 - A_2 t)

(d x (0))/(d t) = 1 (A_2 + 1 - 0)

Substituindo a condição inicial:

3 = A_2 + 1

A_2 = 2

Portanto, a nossa resposta será:

x (t) = (- 1 - 2 t) e^(- t)

Passo 4

Bom, vamos agora encontrar a resposta forçada para a letra (a).

Na letra (b), temos que f (t) = t^2

E a nossa equação diferencial era:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = (d f (t))/(d t)

Logo, nossa equação diferencial para a letra (b) é:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = 2 t

Portanto, de acordo com a tabela 9.1 do livro, tentaremos uma resposta forçada do tipo:

x_f = A t + B

Para substituir essa resposta na equação diferencial, precisamos antes derivá-la:

(d x_f)/(d t) = A

(d^2 x_f)/(d t^2) = 0

Portanto, ao substituir, teremos:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + x = 2 t

2 A + A t + B = 2 t

Como essa equação precisa ser válida para qualquer t , ao utilizarmos t = 0 , teremos:

2 A + B = 0

B = - 2 A

Substituindo, teremos:

2 A + A t - 2 A = 2 t

A t = 2 t

A = 2

E, portanto:

B = - 4

Ou seja, nossa resposta forçada é:

x_f = 2 t - 4

Passo 5

Agora, vamos encontrar as nossas constantes da resposta completa:

x = x_n + x_f

(A resposta natural x_n é a mesma independente da excitação, e nós já a encontramos no Passo 2):

x = (A_1 + A_2 t) e^(- t) + 2 t - 4

Agora, vamos utilizar o valor inicial dado:

x (0) = - 1

A_1 - 4 = - 1

A_1 = 3

Portanto:

x = (3 + A_2 t) e^(- t) + 2 t - 4

Para encontrar A_2 , vamos encontrar o valor de (d x (0))/(d t) , utilizando a equação integrodiferencial dada no enunciado:

(d x (0))/(d t) + 2 x (0) + int_0^0 x d t = t^2

Como a integral tem os limites indo de 0 até 0, ou seja, não há um intervalo de integração, sua resposta é nula:

(d x (0))/(d t) + 2 (- 1) + 0 = 0^2

(d x (0))/(d t) = 2

Agora, vamos utilizar esse valor para encontrar A_2

x = (3 + A_2 t) e^(- t) + 2 t - 4

(d x)/(d t) = A_2 e^(- t) + (3 + A_2 t) (- e^(- t)) + 2

(d x (0))/(d t) = A_2 - 3 + 2

2 = A_2 - 3 + 2

A_2 = - 3

Portanto, nossa resposta completa será:

x = (3 + A_2 t) e^(- t) + 2 t - 4

E fechamos com chave de ouro!

Resposta

(a)

x (t) = (- 1 - 2 t) e^(- t)

(b)

x ( t ) = (3 + A_2 t) e^(- t) + 2 t - 4

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