Enunciado

O circuito de cruzamento da figura é um filtro passa altas conectado a um tweeter. Determine a função de transferência H ω = V 0 ω / V i ω .

Passo 1

Para encontrar essa função de transferência acho melhor simplificarmos o problema para um circuito mais simples, contendo a fonte V i , uma impedância equivalente vista pela carga, e a carga R L :

Para isso, vamos encontrar uma impedância equivalente de Thévenin vista pela carga. Agora, não se esqueça de transformar o circuito R L C , em um circuito de Impedâncias e com a fonte curto circuitada, heim!

Onde Z L = j ω L , Z c 1 = 1 / j ω C 1 e Z c 2 = 1 / j ω C 2 . Para encontrar a impedância equivalente Z e q vista pela carga então, vamos resolver esse circuito!

Passo 2

Colocando Z L em série com Z c 2 , vamos obter...

Z a u x i l i a r = R i + Z c 1

Agora, observe que esse Z a u x i l i a r está em paralelo como Z L ...

Z a u x i l i a r 2 = Z a u x i l i a r / / Z L

Z a u x i l i a r 2 = Z a u x i l i a r ⋅ Z L Z a u x i l i a r + Z L   →

Z a u x i l i a r 2 = R i + Z c 1 ⋅ Z L R i + Z c 1 + Z L   →

Por fim, esse Z a u x i l i a r 2 está em série com Z c 2 , onde a gente vai obter o Z e q :

Z e q = Z c 2 + R i + Z c 1 ⋅ Z L R i + Z c 1 + Z L

Substituindo os valores dessas impedâncias...

Z e q = 1 j ω C 2 + R i + 1 j ω C 2 ⋅ j ω L R i + 1 j ω C 2 + j ω L   →

Passo 3

Pelo divisor de tensão então...

V 0 = R L Z e q + R L ⋅ V i   →

Logo...

H = V 0 V i = R L Z e q + R L   →

H ω = R L 1 j ω C 2 + R i + 1 j ω C 2 ⋅ j ω L R i + 1 j ω C 2 + j ω L + R L

E prontinho!

Resposta

H ω = R L 1 j ω C 2 + R i + 1 j ω C 2 ⋅ j ω L R i + 1 j ω C 2 + j ω L + R L

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