Enunciado

Para o circuito da figura 7.88, se

v = 10 ⋅ e - 4 t   V   e   i = 0.2 ⋅ e - 4 t ,     t > 0

a Determine R e C .

b Determine a constante de tempo.

c Calcule a energia inicial no capacitor.

d Obtenha o tempo necessário para dissipar 50 % da energia inicial.

Passo 1

Para encontrarmos os valores de R   e   C vamos utilizar a seguinte ideia: como temos o valor de v t e i t podemos aplicar a lei de Ohm e encontraremos, assim, o valor de R . Então,

v t = R ⋅ i t → R = v t i t = 10 ⋅ e - 4 t 0.2 ⋅ e - 4 t = 10 0.2 = 50 Ω  

Agora que temos o valor de R podemos encontrar o valor de C facilmente haja vista que a constante de tempo foi dada de forma implícita no enunciado e seu valor é 1 / 200 . Então, como para um circuito R C temos que

τ = R C → 1 4 = 50 ⋅ C → C = 5 m F

Passo 2

Para calcularmos a energia inicial no capacitor teremos que aplicar a seguinte equação

w c 0 = 1 2 ⋅ C V 0 2 = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 - 3 ⋅ 100 = 250 m J

Por fim, para encontrarmos o tempo necessário para dissipar 50 % da energia inicial façamos o seguinte

w r = 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ C ⋅ V 0 2 = 1 2 ⋅ C V 0 2 ⋅ 1 - e - 2 t 0 τ

→ 0.5 = 1 - e - 8 t 0 → e - 8 t 0 = 1 2 → t 0 = 1 8 ⋅ ln ⁡ 2 ≈ 86.6   m s

Resposta

A   R = 50 Ω   e   C = 5   M f

b   τ = 0.25   s

c w c ( 0 ) = 250   m j

D t 0 = 86.6 m s

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