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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 10

A corrente em um capacitor de 0,25 F e i = 4 s e n ( 2 t ) A . A tensão inicial e de 4 V . Calcule os valores maximos e minimos da energia armazenada e o menor tempo em que isso ocorre.

Passo 1

Iae, meus queridos! Td belezinha? Para resolver essa questão basicamente temos que saber e equação de energia armazenada em capacitores, integrais e derivadas.

Vamos separar o que a questão nos deu:

Capacitância: 0,25 F .

Corrente no capacitor: i = 4 s e n ( 2 t ) A .

Tensão inicial: 4 V .

Vamos primeiramente calcular a tensão em função do tempo, pra isso, vamos dar uma lembrada nela.

v t = 1 C ∫ i d t + v 0

Você é livre pra escolher o método de integração que preferir pra integrar a corrente i , mas aqui vamos utilizar o método de substituição udu.

∫ i d t = ∫ 4 s e n ( 2 t )

4 ∫ s e n ( 2 t )

4 ∫ s e n u d u 2

4 · 1 2 ∫ s e n u d u

2 ( - cos ⁡ u )

∫ i d t = - 2 cos ⁡ 2 t .

Passo 2

Fácil né? Agora vamos substituir os valores na equação da tensão v ( t ) .

v t = 1 0,25 · - 2 cos ⁡ 2 t + 4

v t = 4 - 8 cos ⁡ 2 t V

Vamos substituir na função de energia armazenada em capacitores.

w t = C v 2 2

w t = 0,25 · ( 4 - 8 cos ⁡ 2 t ) ² 2

w t = 0,25 · ( 16 - 64 cos ⁡ 2 t + 64 c o s ² ( 2 t ) 2

w t = 2 - 8 cos ⁡ 2 t + 8 c o s 2 2 t J .

Bonito né??

Agora pra encontrar os valores máximo e mínimo, vamos ter que derivar essa função e igualar a zero.

d w ( t ) d t = 2 - 8 cos ⁡ 2 t + 8 c o s 2 2 t d d t  

Podemos desmembrar essa derivada em três partes para facilitar nossa vida.

d d t 2 = 0

d d t - 8 cos ⁡ 2 t = 16 s e n ( 2 t )

d d t 8 c o s 2 2 t = ?

Vamos desenvolver melhor essa ultima pois pode não ser tão trivial como as outras.

Aplicando a famosa regra da cadeia:

d d t 8 c o s 2 2 t → 8 d d t c o s 2 2 t → 8 · 2 cos ⁡ 2 t · d d t cos ⁡ 2 t → 8 · 2 cos ⁡ 2 t · - 2 s e n 2 t → - 32 cos ⁡ 2 t s e n ( 2 t )

Chegamos a:

d d t 8 c o s 2 2 t = 16 s e n ( 2 t ) - 32 cos ⁡ 2 t s e n ( 2 t )

Como disse anteriormente, temos que igualar a derivada a 0 .

16 s e n ( 2 t ) - 32 cos ⁡ 2 t s e n 2 t = 0

Analisando a equação concluímos que quando sem for 0 , a igualdade vai ser respeitada, portanto t = 0 e t =   π 2 são os primeiros candidatos.

A matemática é tão linda que podemos manipular um pouco mais a derivada acima.

16 s e n 2 t = 32 cos ⁡ 2 t s e n 2 t

16 = 32 c o s ⁡ ( 2 t )

cos ⁡ 2 t = 1 2

Agora tá moleza, em qual radiano o cosseno vale 1 2 ?? Exatamente, o π 3 ! Mas no caso, tem um 2 multiplicando o t , então vamos dividir π 3 por 2 para manter a igualdade.

Passo 3

Finalmente chegamos na reta final! Temos 3 valores para t , 0 ;   π 6 ;   π 2 .

Vamos substituí-los na função de energia armazenada em capacitores.

w t = 2 - 8 cos ⁡ 2 t + 8 c o s 2 2 t J .

Para t = 0 s .

w 0 = 2 - 8 cos ⁡ 2 · 0 + 8 c o s 2 2 · 0

w 0 = 2 J .

Para t = π 6 s .

w π 6 = 2 - 8 cos ⁡ 2 · π 6 + 8 c o s 2 2 · π 6

w π 6 = 0 J .

Para t = π 2 s .

w π 2 = 2 - 8 cos ⁡ 2 · π 2 + 8 c o s 2 2 · π 2

w π 2 = 18 J .

Encontramos nosso resultado, o menor valor de energia armazenada é 0 J no instante t = π 6 e o maior valor de energia armazenada é 18 J no instante t = π 2 .

O menor tempo em que essa variação de energia ocorre é a diferença entre os instantes em que elas ocorrem, portanto, Δ t = π 2 - π 6 = π 3 s .

Foi fácil?? Bora pra próxima!

Resposta

Maior valor: 18 J .

Menor valor: 0 J .

Menor tempo: π 3 s .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule i g se V = 10 ⅇ - 20 t . ⅇ
A tensão inicial (em t = 0) sobre um capacitor de 0,25F é 5 V. Calcule a tensão no capacitor para t0 se a corrente e (a) 2A, (b) 4t A, (c) 2 ⅇ - 2 t ⅇ A, e (d) 5 cos 4t A.
Se i 1 0 - = 15 / 4 A . Calcule i 1 , i 2 , i c e v c em t = 0 + .
A corrente em um capacitor de 0,25 F e i = 2 t - 4 V e a tensão inicial e v ( 0 ) = 20 V . (a) Calcule a mínima energia armazenada e o tempo que isto ocorre. (b) Determine a tensão inicial tal que a e