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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 8

Demonstre que:

int_(t_0)^(t_0 + T) V_m^2 cos^2 (omega t + varphi) d t = (V_m^2 T)/(2)

Passo 1

Opa turminha, tudo certo com vocês? Galera, sei que questões de demonstração podem causar um sustinho assim no começo, mas vamo lá que a matemática aqui no R.A é bruta! Primeiro, vamos resolver logo esse cos^2 . Bastando aplicar a fórmula, portanto:

int_(t_0)^(t_0 + T) V_m^2 cos^2 (omega t + varphi) d t = V_m^2 int_(t_0)^(t_0 + T) (1)/(2) + (1)/(2) cos (2 omega t + 2 varphi) d t

Essa soma aí dentro da integral, já sabe né: vamos separar ela em outra integral.

V_m^2 int_(t_0)^(t_0 + T) (1)/(2) + (1)/(2) cos (2 omega t + 2 varphi) d t = (V_m^2)/(2) int_(t_0)^(t_0 + T) d t + int_(t_0)^(t_0 + T) cos (2 omega t + 2 varphi) d t

Passo 2

Aqui já podemos resolver essas duas integrais. Essa pequena já fica fácil, temos:

int_(t_o)^(t_o + T) d t = T

Essa maiorzinha, entra dentro da formula padrão para resolver os cossenos. Portanto,

V_r m s = (V_m^2)/(2) {T + (1)/(2 omega) [s i n ( 2 omega t + 2 varphi] (​|_t_o_()^(t_o + T)}

Passo 3

Agora aqui é organizar as nossas idéias. Vamo terminar de resolver a integral e vamos ver no que vai dar 😊.

V_r m s = (V_m^2)/(2) {T + (1)/(2 omega) [s i n ( 2 omega t + 2 varphi] (​|_t_o_()^(t_o + T)}

= (V_m^2)/(2) {T + (1)/(2 omega) [s i n ( 2 omega t_o + 4 pi + 2 varphi] - s e n ( 2 omega t_o + 2 varphi )}

Agora aqui é subtrair os senos. Portanto:

= (V_m^2)/(2) ((T)/(2)) + (1)/(2 omega) (0) = V_m^2 ((T)/(2))

Sobrevivemos, WE ARE THE CHAMPIONS!

Resposta

V_m^2 ((T)/(2))

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