Responde Aí
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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 3

Determine a carga q ( t ) que flui por um dispositivo se a corrente for:

  1. i t = 3   A ,   q 0 = 1   C
  2. i t = 2 t + 5   m A ,   q 0 = 0
  3. i t = 20 cos ⁡ 10 t + π 6   μ A ,   q 0 = 2   μ C
  4. i t = 10 e - 30 t s e n   40 t   A ,   q 0 = 0

Passo 1

Nessa questão, ele deu a corrente que passa em um fio e quer que a gente determine a carga total que fluiu. Como que faz isso? Lembra do seguinte: a carga é a integral da corrente no tempo, ou seja:

q t = ∫ i t d t

Bora lá então, é só a gente integrar cada uma das letras, sem esquecer da unidade!

Passo 2

a) Aqui, a integral é de uma constante:

q t = ∫ 3   d t

Integrando,

q t = 3 t + c

Como q 0 = 1 C ,

q 0 = c = 1

Assim,

q t = 3 t + 1   C

Passo 3

b) Agora a integral é polinomial.

q t = ∫ ( 2 t + 5 )   d t

Integrando,

q t = 2 t 2 2 + 5 t + c = t 2 + 5 t + c

Como q 0 = 0 ,

q 0 = c = 0

Assim,

q t = ( t 2 + 5 t )   m C

Passo 4

c) Nessa letra temos uma integral trigonométrica.

q t = ∫ 20 cos ⁡ 10 t + π 6   d t

Integrando,

q t = 20 10 s e n 10 t + π 6 + c = 2 s e n 10 t + π 6 + c

Como q 0 = 2 μ C ,

q 0 = 2 s e n π 6 + c = 2

2 1 2 + c = 2

c = 1

Assim,

q t = - 2 s e n 10 t + π 6 + 1 μ C

Passo 5

d) Por fim, essa integral chatona aqui:

q t = ∫ 10 e - 30 t s e n   40 t   d t = 10 ∫ e - 30 t s e n   40 t   d t

Vamos integrar por partes, fazendo:

f = s e n 40 t → f ' = 40 cos ⁡ 40 t

g ' = e - 30 t → g = - e - 30 t 30

Se você não lembra como que faz a integral por partes, aqui no Responde Aí tem a teoria explicada direitinho, beleza? Vamos lá!

Integrando,

∫ e - 30 t s e n   40 t   d t = e - 30 t s e n 40 t 30 - ∫ - 4 e - 30 t cos ⁡ 40 t 3 d t

Vamos fazer de novo a integral por partes, fazendo:

f = 40 cos ⁡ 40 t → f ' = - 1600 s e n 40 t

g ' = - e - 30 t 30 → g = e - 30 t 900

∫ e - 30 t s e n   40 t   d t = e - 30 t s e n 40 t 30 - 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t 45 - ∫ - 16 e - 30 t s e n 40 t 9 d t

Arrumando,

∫ e - 30 t s e n   40 t   d t = e - 30 t s e n 40 t 30 - 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t 45 - 16 9 ∫ e - 30 t s e n 40 t d t

Passando a integral pro lado esquerdo e desenvolvendo:

9 9 ∫ e - 30 t s e n   40 t   d t + 16 9 ∫ e - 30 t s e n 40 t d t = e - 30 t s e n 40 t 30 - 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t 45

25 9 ∫ e - 30 t s e n 40 t d t = e - 30 t s e n 40 t 30 - 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t 45

Fazendo o mmc, pra deixar todo mundo com o mesmo denominador:

25 ⋅ 10 9 0 ∫ e - 30 t s e n 40 t d t = 3 ⋅ e - 30 t s e n 40 t 9 0 - 2 ⋅ 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t 90

Tirando o denominador comum a toda equação, temos:

250 ∫ e - 30 t s e n 40 t d t = 3 ⋅ e - 30 t s e n 40 t - 2 ⋅ 2 e - 30 t cos ⁡ 40 t

Jogando o 250 dividindo:

∫ e - 30 t s e n 40 t d t = 3 ⋅ e - 30 t s e n 40 t - 4 e - 30 t cos ⁡ 40 t 250

Shoow, temos então que:

∫ e - 30 t s e n   40 t   d t = - 30   e - 30 t s e n 40 t - 40 e - 30 t cos ⁡ 40 t 2500

A carga é:

q t = 10 ∫ e - 30 t s e n   40 t   d t

Portanto,

q t = - e - 30 t 3 s e n 40 t + 4 cos ⁡ 40 t 25 + c

Como q 0 = 0 :

q 0 = - e 0 3 s e n 0 + 4 cos ⁡ 0 25 + c = 0

c = 4 25

Portanto,

q t = - e - 30 t 3 s e n 40 t + 4 cos ⁡ 40 t 25 + 4 25   C

Resposta

  1. q t = 3 t + 1   C
  2. q t = ( t 2 + 5 t )   m C
  3. q t = - 2 s e n 10 t + π 6 + 1 μ C
  4. q t = - e - 30 t 3 s e n 40 t + 4 cos ⁡ 40 t 25 + 4 25   C
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