Enunciado

Determine a tensão no capacitor como uma função do tempo para t > 0 no circuito da figura. Considere condições de estado estacionário em t = 0 - .

Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde Esse v t aí é quem devemos encontrar. Bora Resolver esse circuito então?

Passo 2

Bem, esse circuito pode ser resolvido usando a lei das correntes...

Onde a soma das correntes devem ser 0 :

i 1 + i 2 + i 3 = 0

Ora, lembre-se de que a corrente no capacitor é C d v t d t ...

v t 1 + 1 0,25 ∫ v t d t + d v t d t = 0   →

v t + 4 ∫ v t d t + d v t d t = 0   →

Derivando novamente...

d v t d t + 4 v t + d 2 v t d t 2 = 0  

Bora resolver essa EDO?

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-la aplicando a transformada de Laplace...

L d v t d t + 4 v t + d 2 v t d t 2 = 0

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

s V s - v 0 + 4 V s + s 2 V s - s v 0 - v ' 0 = 0

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0 !

Passo 4

No t = 0 - ...

  • Bobina é um curto o que implica em...
  • v 0 - = 0

  • A corrente na Bobina é então...

i 0 - = 20 5 = 4 A

Após a abertura da chave t = 0 , esses valores continuam já que a bobina não sofre variações bruscas de corrente e quanto ao capacitor, de tensão:

v 0 = 0

E

i 0 = 4 A

Da Equação do Capacitor, sabemos que...

i t C = v ' t     →

v ' 0 = 4 1 = 4 V

Saca?

Passo 5

Voltando então para a equação...

s V s - v 0 + 4 V s + s 2 V s - s v 0 - v ' 0 = 0   →

Ganharemos essa daqui...

s V s + 4 V s + s 2 V s - 4 = 0   →

Isolando V s ...

V s s + 4 + s 2 - 4 = 0   →

V s = 4 s + 4 + s 2 →

V s = 4 s 2 + s + 4 →

E completando quadrados no denominador...

V s = 4 s + 1 2 2 + 15 2 2 →

Esse cara se parece com a Laplace de seno, mas falta fazer uma jogada...

V s = 8 15 15 2 s + 1 2 2 + 15 2 2 →

Prontinho! Podemos agora calcular a inversa encontrando o v t :

v t = 8 15 e - 1 / 2 t sin ⁡ 15 2 t

Resposta

v t = 8 15 e - 1 / 2 t sin ⁡ 15 2 t

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Use o PSpice ou MultiSim para obter os gráficos de amplitude e de fase de V 0 I s do circuito da Figura.
No intervalo 0,1f100 H z , represente graficamente a resposta do circuito na figura. Classifique esse filtro e obtenha ω 0 .
Se i s t = e - 2 t u t A no circuito mostrado na figura. Determine o valor de i 0 t .
Calcule v t para t0 no circuito da Figura.