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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 45

Prove que, se apenas o módulo da impedância de uma carga puder variar, a maior potência média lhe será transferida quando Z L = | Z t h | . [Sugestão: ao deduzir a expressão para a potência média da carga, escreva a impedância de carga ( Z L ) na forma Z L = Z L cos ⁡ θ + j Z L s e n   θ e observe que somente Z L é variável.]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A impedância da carga Z L pode ser expressa como

Z L = Z L ∠ θ °

Com isso, nós temos que

Z L = Z L cos ⁡ θ + j Z L s e n   θ

A impedância de Thevenin Z t h é dada por

Z t h = R t h + X t h

A corrente que flui através da carga é dada por

I = V t h R t h + Z L cos ⁡ θ 2 + X t h + Z L s e n   θ 2

A potência média fornecida à carga é dada por

P = 1 2 I 2 R e { Z L }

Desenvolvendo os termos, nós temos que

P = 0,5 V t h 2 Z L cos ⁡ θ R t h + Z L cos ⁡ θ 2 + X t h + Z L sin ⁡ θ 2 = 0,5 V t h 2 Z L cos ⁡ θ D

Onde D é dado por

D = R t h + Z L cos ⁡ θ 2 + X t h + Z L sin ⁡ θ 2     1

Passo 2

Determinando a primeira derivada da potência média em relação a Z L

d P d Z L = 0,5 V t h 2 cos ⁡ θ D - Z L d D d Z L D 2

Onde

d D d Z L = 2 R t h + Z L cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 X t h + Z L sin ⁡ θ sin ⁡ θ     ( 2 )

Equacionando a derivada de potência média a zero para determinar o valor de Z L que fornece a potência média máxima

d P d Z L = 0

Logo,

0,5 V t h 2 cos ⁡ θ D - Z L d D d Z L = 0

Portanto,

D = Z L d D d Z L   ( 3 )

Passo 3

Substituindo (1) e (2) em (3)

R t h + Z L cos ⁡ θ 2 + X t h + Z L sin ⁡ θ 2 = Z L ( 2 R t h + Z L cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 X t h + Z L sin ⁡ θ sin ⁡ θ ) )

Fazendo algumas continhas, nós temos o seguinte equacionamento

Z L 2 = R t h 2 + X t h 2

Ou

Z L = Z t h  

A maior parte da potência média é entregue à carga se apenas Z L = Z t h

Resposta

A   m a i o r   p a r t e   d a   p o t ê n c i a   m é d i a   é   e n t r e g u e   à   c a r g a   s e   a p e n a s   | Z L | = Z t h

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