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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 3

A resposta natural de um circuito RLC é descrita pela equação diferencial

d 2 v d t ² + 2 d v d t + v = 0

Para a qual as condições iniciais são v 0 = 20   V e d v 0 d t = 0 . Determine v ( t ) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + 2 s V s - v 0 + V s = 0

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 V s - 20 s - 0 + 2 s V s - 20 + V s = 0

s 2 V s - 20 s + 2 s V s - 4 0 + V s = 0

Passando 20 s + 40 pro outro lado e colocando V ( s ) em evidência:

V s . s 2 + 2 s + 1 = 20 s + 40

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = 20 s + 40 s 2 + 2 s + 1

Como s 2 + 2 s + 1 tem raíz dupla em - 1 :

V s = 20 s + 40 ( s + 1 ) ²

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

20 s + 40 s + 1 2 = A s + 1 + B ( s + 1 ) ²

20 s + 40 s + 1 2 = A ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + B ( s + 1 ) ²

20 s + 40 = A s + A + B

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A = 20 A + B = 40

Resolvendo o sisteminha:

A = 20

B = 20

Aí vai ficar assim:

20 s + 40 s + 1 2 = 20 s + 1 + 20 ( s + 1 ) ²

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

v t = 20 e - t + 20 t e - t u t   V

Resposta

v t = 20 e - t + 20 t e - t u t   V

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