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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 2

A equação diferencial que descreve a tensão em um circuito RLC é

d 2 v d t ² + 5 d v d t + 4 v = 0

Sabendo que v 0 = 0 e d v 0 d t = 5 , obtenha v ( t ) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + 5 s V s - v 0 + 4 V s = 0

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 V s - s . 0 - 5 + 5 s V s - 0 + 4 V s = 0

s 2 V s - 5 + 5 s V s + 4 V s = 0

Passando 5 pro outro lado e colocando V ( s ) em evidência:

V s . s 2 + 5 s + 4 = 5

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = 5 s 2 + 5 s + 4

Como as raízes de s 2 + 5 s + 4 são - 4 e - 1 :

V s = 5 ( s + 4 ) ( s + 1 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

5 s + 4 s + 1 = A s + 4 + B s + 1

5 = A s + A + B s + 4 B

5 = s A + B + A + 4 B

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A + B = 0 A + 4 B = 5

Resolvendo o sisteminha:

A = - 5 3

B = 5 3

Aí vai ficar assim:

5 s + 4 s + 1 = - 5 3 s + 4 + 5 3 s + 1

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

v t = - 5 3 e - 4 t + 5 3 e - t u t   V

Resposta

v t = - 5 3 e - 4 t + 5 3 e - t u t   V

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