[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos. Seja . Se for derivável em e então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em é .

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . Sabemos que a função é derivável em , e nos são fornecidos os valores e . A afirmação apresentada diz que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em é .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de derivada, especificamente a regra do produto, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é produto de duas outras funções. Também vamos avaliar a derivada em um ponto específico.

Passo 2

Calculando a Derivada da Função
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em termos de . A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que afirma que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculamos as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Avaliando a Derivada em
Agora, vamos calcular substituindo , e na expressão que encontramos:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Passo 4

Comparando com a Afirmação Dada
A afirmação diz que . Mas nós calculamos que .
Como não é igual a , a afirmação é falsa.

Resposta

F. O coeficiente angular da reta tangente a em é , não .

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(b) Mostre que, para inteiro positivo, .
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[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.
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