[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos. Seja
. Se
for derivável em
e
então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
é
.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
. Sabemos que a função
é derivável em
, e nos são fornecidos os valores
e
. A afirmação apresentada diz que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
é
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de derivada, especificamente a regra do produto, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é produto de duas outras funções. Também vamos avaliar a derivada em um ponto específico.
Passo 2
Calculando a Derivada da Função
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em termos de
. A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que afirma que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Calculamos as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Avaliando a Derivada em
Agora, vamos calcular
substituindo
,
e
na expressão que encontramos:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:
Passo 4
Comparando com a Afirmação Dada
A afirmação diz que
. Mas nós calculamos que
.
Como
não é igual a
, a afirmação é falsa.
Resposta
F. O coeficiente angular da reta tangente a
em
é
, não
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule
e
.
(b) Mostre que, para inteiro positivo,
.
(b) Mostre que, para
[0,6] Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada da função
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.
[0,5] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.