Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t
(a) Calcule Gamma(1) e Gamma(2).
(b) Mostre que, para n inteiro positivo, Gamma(n+1)=n Gamma(n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe trata da Função Gamma, representada por . Essa função é bem importante em matemática, especialmente em cálculo e estatística, porque generaliza o fatorial para números reais e complexos. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular integrais definidas e entender um pouco sobre propriedades dessa função. Vamos dividir a resolução em duas partes: calcular e , e depois mostrar que para um inteiro positivo .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular Gamma(x) = integral0^+infty t^x-1 e^-t dt .
A Definição da Função Gamma é:
Gamma(1) = integral0^+infty t^1-1 e^-t dt = integral0^+infty t^0 e^-t dt = integral0^+infty e^-t dt
Para Gamma(1) = 1 :
Essa integral é conhecida e é igual a 1, porque a integral de de 0 a infinito é 1.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular Gamma(2) = integral0^+infty t^2-1 e^-t dt = integral0^+infty t^1 e^-t dt .
Usando a mesma definição:
u = t Rightarrow du = dt
Essa integral também é conhecida e resulta no fatorial de dv = e^-t dt Rightarrow v = -e^-t , que é 1. Mas para entender melhor, podemos resolver por integração por partes.
Vamos escolher:
Gamma(2) = -t e^-t |0^+infty + integral0^+infty e^-t dt
Gamma(2) = 1
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
O primeiro termo avaliado de 0 a infinito é 0, e a segunda integral é 1, como vimos antes.
Então:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que, para Gamma(n+1) = integral0^+infty t^n e^-t dt inteiro positivo, u = t^n Rightarrow du = n t^n-1 dt .
Vamos usar a definição da Função Gamma:
dv = e^-t dt Rightarrow v = -e^-t
Vamos resolver essa integral por partes, escolhendo:
Gamma(n+1) = -t^n e^-t |0^+infty + integral0^+infty n t^n-1 e^-t dt
Gamma(n+1) = n integral0^+infty t^n-1 e^-t dt = n Gamma(n)
Aplicando a integração por partes:
O primeiro termo avaliado de 0 a infinito é 0, então sobra:
Isso mostra que .

Resposta

(a) e .
(b) Para todo inteiro positivo , .

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