(a) Calcule e .
(b) Mostre que, para inteiro positivo, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe trata da Função Gamma, representada por . Essa função é bem importante em matemática, especialmente em cálculo e estatística, porque generaliza o fatorial para números reais e complexos. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular integrais definidas e entender um pouco sobre propriedades dessa função. Vamos dividir a resolução em duas partes: calcular e , e depois mostrar que para um inteiro positivo .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular .
A Definição da Função Gamma é:
Para :
Essa integral é conhecida e é igual a 1, porque a integral de de 0 a infinito é 1.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular .
Usando a mesma definição:
Essa integral também é conhecida e resulta no fatorial de , que é 1. Mas para entender melhor, podemos resolver por integração por partes.
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
O primeiro termo avaliado de 0 a infinito é 0, e a segunda integral é 1, como vimos antes.
Então:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que, para inteiro positivo, .
Vamos usar a definição da Função Gamma:
Vamos resolver essa integral por partes, escolhendo:
Aplicando a integração por partes:
O primeiro termo avaliado de 0 a infinito é 0, então sobra:
Isso mostra que .

Resposta

(a) e .
(b) Para todo inteiro positivo , .

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