[0,5] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível. f(x) = (x^4 + 4x - 2) cos(pi + 3x^2)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de Derivadas, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Precisamos lembrar como derivar polinômios e funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função :
A Regra do Produto diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular e :
Derivando :
A derivada de cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então,
Derivando :
Aqui usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é , onde .
Primeiro, derivamos :
Então,

Passo 4

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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