Determine se as seguintes séries são convergente ou divergente:
sumn=2^infty k^2k^2-1

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos determinar se a série infinita sumk=2^infty k^2k^2-1 é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar o comportamento dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é k^2k^2-1. É importante entender o que acontece com esse termo quando k aumenta, ou seja, quando k tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral à medida que k tende ao infinito:
limk to infty k^2k^2-1
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por k^2:
limk to infty 11 - 1k^2 = 11 - 0 = 1

Passo 4

De acordo com o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite é 1, que é diferente de zero. Portanto, podemos concluir que a série diverge.

Resposta

A série sumk=2^infty k^2k^2-1 é divergente.

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