[0,6] Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada da função
k(x) = (3 f(x) + 2 x^5) / (x^2 - 7)

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são divisões de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão usadas na regra do quociente. A função está na forma de uma divisão, então podemos pensar nela como:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular e :
  1. Derivada de :
    • A derivada de é (usando a regra da constante).
    • A derivada de é (usando a regra do poder).
    Então:
  2. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • A derivada de uma constante, como , é .
    Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente usando os valores que encontramos:
Substituindo , , e :

Resposta

A derivada da função é:

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