[0,6] Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada da função

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são divisões de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão usadas na regra do quociente. A função está na forma de uma divisão, então podemos pensar nela como:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular e :
  1. Derivada de :
    • A derivada de é (usando a regra da constante).
    • A derivada de é (usando a regra do poder).
    Então:
  2. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • A derivada de uma constante, como , é .
    Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente usando os valores que encontramos:
Substituindo , , e :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Dadas as funções definidas por e encontre .
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.
(a) Calcule e .
(b) Mostre que, para inteiro positivo, .
[1,2] Para cada afirmação dada a seguir, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos os casos. Seja . Se for derivável em e então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em é .