Represente as raízes sextas de -1 no plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar as raízes sextas de -1 no plano complexo. Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e raízes de números complexos. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de raízes n-ésimas de um número complexo e entender como representá-las no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento. No caso, temos o número -1, que pode ser escrito como , já que o módulo é 1 e o ângulo é radianos.
Passo 3
Para encontrar as raízes sextas de -1, usamos a fórmula das raízes n-ésimas de um número complexo:
Aqui, , , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Agora que temos todas as seis raízes sextas de -1, podemos representá-las no plano complexo. Cada raiz corresponde a um ponto com as coordenadas :
Esses pontos estão igualmente espaçados ao redor do círculo unitário no plano complexo.
Resposta
As seis raízes sextas de -1 no plano complexo são:
Esses pontos formam um hexágono regular no círculo unitário do plano complexo.