(3 pontos) Calcular o volume do sólido de revoluçāo: Obtido com a rotação da região limitada por
e
em torno do eixo
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo
. A região limitada pelas curvas
e
será girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que faz parte do cálculo integral.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.
Temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
para facilitar a integração em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
O volume do sólido de revolução pode ser encontrado usando a fórmula do método dos anéis:
Aqui,
e
.
Passo 5
Determinar os limites de integração. Pelo Passo 2, os limites em
vão de 1 a 2. Substituindo em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando dentro dos parênteses:
Convertendo para denominador comum (30):
Resposta
Portanto, o volume do sólido de revolução é:
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(2 pontos) Determinc o comprimento do gráfico de
definida por
.
Determine
de maneira que:
b) a reta pelos pontos e
tenha inclinação -3 ;
b) a reta pelos pontos
Uma locadora de automóveis trabalha com o seguinte modelo de negócios: é cobrada uma taxa diária de
, mais 25 centavos por km rodado.
a) Expresse o custo de alugar um carro por um dia e rodar km como uma função
.
a) Expresse o custo de alugar um carro por um dia e rodar