(3 pontos) Calcular o volume do sólido de revoluçāo: Obtido com a rotação da região limitada por e em torno do eixo ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo . A região limitada pelas curvas e será girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que faz parte do cálculo integral.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.
Temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de para facilitar a integração em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

O volume do sólido de revolução pode ser encontrado usando a fórmula do método dos anéis:
Aqui, e .

Passo 5

Determinar os limites de integração. Pelo Passo 2, os limites em vão de 1 a 2. Substituindo em :

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando dentro dos parênteses:
Convertendo para denominador comum (30):

Resposta

Portanto, o volume do sólido de revolução é:
ú

Exercícios relacionados

(2 pontos) Determinc o comprimento do gráfico de definida por .
Determine de maneira que:
b) a reta pelos pontos e tenha inclinação -3 ;
Uma locadora de automóveis trabalha com o seguinte modelo de negócios: é cobrada uma taxa diária de , mais 25 centavos por km rodado.
a) Expresse o custo de alugar um carro por um dia e rodar km como uma função .
Represente as raízes sextas de -1 no plano complexo.