(1,00) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y'' + 2y' + αy = t e^(-t) sen(raiz(α - 1) t)
para alpha > 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e, mais especificamente, vamos aplicar o método de coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisaremos saber identificar a forma da solução homogênea e escolher uma forma adequada para a solução particular baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A gente monta a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como , o termo dentro da raiz fica negativo, então temos raízes complexas:

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a forma da solução particular para a equação completa. O lado direito da equação é:
Observamos que o termo já aparece na solução homogênea. Nesse caso, para evitar duplicidade, multiplicamos a forma assumida por t.

Passo 5

A forma adequada para a solução particular será:
Aqui, A, B, C, e D são coeficientes que serão determinados substituindo na equação original.

Resposta

A forma adequada para uma solução particular é
onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas.

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