(1,00) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e, mais especificamente, vamos aplicar o método de coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisaremos saber identificar a forma da solução homogênea e escolher uma forma adequada para a solução particular baseada no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A gente monta a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como
, o termo dentro da raiz fica negativo, então temos raízes complexas:
Passo 3
A solução geral da equação homogênea é então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a forma da solução particular
para a equação completa. O lado direito da equação é:
Observamos que o termo
já aparece na solução homogênea. Nesse caso, para evitar duplicidade, multiplicamos a forma assumida por
.
Passo 5
A forma adequada para a solução particular será:
Aqui,
,
,
, e
são coeficientes que serão determinados substituindo
na equação original.
Resposta
A forma adequada para uma solução particular é
onde
,
,
e
são constantes a serem determinadas.
Exercícios relacionados
© Suponha que
e
sejam constantes dadas para as quais
tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma
e
, mostre que uma solução geral da equação
é
.
(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):
(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas,
e
, então
e
são soluções fundamentais de (1) e portanto
é solução geral de (1), para
.
(b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.