(1,00) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e, mais especificamente, vamos aplicar o método de coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisaremos saber identificar a forma da solução homogênea e escolher uma forma adequada para a solução particular baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A gente monta a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como , o termo dentro da raiz fica negativo, então temos raízes complexas:

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a forma da solução particular para a equação completa. O lado direito da equação é:
Observamos que o termo já aparece na solução homogênea. Nesse caso, para evitar duplicidade, multiplicamos a forma assumida por .

Passo 5

A forma adequada para a solução particular será:
Aqui, , , , e são coeficientes que serão determinados substituindo na equação original.

Resposta

A forma adequada para uma solução particular é
onde , , e são constantes a serem determinadas.

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© Suponha que e sejam constantes dadas para as quais tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma e , mostre que uma solução geral da equação é .
(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):
(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas, e , então e são soluções fundamentais de (1) e portanto é solução geral de (1), para .
(b) Prove que uma solução geral da equação é dada por .