(b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa provar que uma solução geral da equação diferencial
é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções usando funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
. Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos procurar soluções da forma
, onde
é um número que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, a equação fica:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa solução com as funções hiperbólicas. As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são definidas por:
Podemos reescrever a solução geral usando essas definições.
Passo 6
Expressando
e
em termos de
e
:
Substituindo na solução geral:
Passo 7
Como
e
são constantes arbitrárias, podemos redefini-las como novas constantes
e
. Assim, a solução geral fica:
Resposta
Portanto, uma solução geral da equação
é dada por: