(b) Prove que uma solução geral da equação y'' - y = 0 é dada por y = c1 cosh(t) + c2 senh(t).

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa provar que uma solução geral da equação diferencial é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções usando funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada: . Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos procurar soluções da forma , onde é um número que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação, temos:
Substituindo na equação diferencial:
Como nunca é zero, a equação fica:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa solução com as funções hiperbólicas. As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são definidas por:
Podemos reescrever a solução geral usando essas definições.

Passo 6

Expressando e em termos de e :
Substituindo na solução geral:

Passo 7

Como e são constantes arbitrárias, podemos redefini-las como novas constantes e . Assim, a solução geral fica:

Resposta

Portanto, uma solução geral da equação é dada por:

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