© Suponha que
e
sejam constantes dadas para as quais
tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma
e
, mostre que uma solução geral da equação
é
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática
com duas raízes reais e distintas, que são dadas na forma
e
. O objetivo é mostrar que uma solução geral da equação diferencial
é
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas soluções baseadas nas raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, identifique as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é
, que já está dada. Sabemos que as raízes são
e
.
Passo 3
Sabendo que as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Ou seja, temos:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Substituindo as raízes
e
na solução geral, obtemos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão usando propriedades de exponenciais. Podemos fatorar
de ambos os termos:
Passo 6
Agora, reconhecemos que as combinações
e
podem ser escritas em termos das funções hiperbólicas
e
:
Passo 7
Reescrevendo a expressão dentro dos parênteses usando
e
, temos:
Podemos renomear as constantes para simplificar:
onde
e
são novas constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
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para
.
(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas,
e
, então
e
são soluções fundamentais de (1) e portanto
é solução geral de (1), para
.