© Suponha que a, b e c sejam constantes dadas para as quais a * r^2 + b * r + c = 0 tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma α - β e α + β, mostre que uma solução geral da equação a y'' + b y' + c y = 0 é y = c1 * e^(alpha * t) * cosh(beta * t) + c2 * e^(alpha * t) * senh(beta * t).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática com duas raízes reais e distintas, que são dadas na forma e . O objetivo é mostrar que uma solução geral da equação diferencial é . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas soluções baseadas nas raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, identifique as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é , que já está dada. Sabemos que as raízes são e .

Passo 3

Sabendo que as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Ou seja, temos:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Substituindo as raízes e na solução geral, obtemos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão usando propriedades de exponenciais. Podemos fatorar de ambos os termos:

Passo 6

Agora, reconhecemos que as combinações e podem ser escritas em termos das funções hiperbólicas e :

Passo 7

Reescrevendo a expressão dentro dos parênteses usando e , temos:
Podemos renomear as constantes para simplificar:
onde e são novas constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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