(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de quarta ordem. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e que também atende às condições iniciais fornecidas. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes, como encontrar a equação característica, determinar suas raízes e aplicar as condições iniciais para achar os constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, a gente começa encontrando a equação característica, que é obtida substituindo na equação diferencial. Isso nos leva a uma equação polinomial em .
Passo 3
Substituindo e derivando, temos:
Substituindo na equação original:
r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0
Podemos dividir todos os termos por r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0 (que nunca é zero):
Essa é a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0
Podemos fatorar r(r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = 0 :
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0
Então, temos uma raiz (r - 1)(r^2 - 2r + 1) = 0 . Vamos agora resolver o polinômio de terceiro grau:
r = 0, r = 1 (com mu
Observando, percebemos que também é raiz desse polinômio. Fazendo a divisão por :
O quadrado pode ser fatorado como . Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz simples contribui com uma função exponencial, e raízes múltiplas adicionam termos multiplicados por y(t) = C1 e^0t + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t para cada repetição.
Então, temos:
y(t) = C1 + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t
Simplificando :
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os constantes y(0) = 0 y'(0) = 0 y''(0) = 1 y'''(0) = 1 e y(t) = C1 + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t :