(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de quarta ordem. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e que também atende às condições iniciais fornecidas. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes, como encontrar a equação característica, determinar suas raízes e aplicar as condições iniciais para achar os constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação, a gente começa encontrando a equação característica, que é obtida substituindo na equação diferencial. Isso nos leva a uma equação polinomial em .

Passo 3

Substituindo e derivando, temos:
Substituindo na equação original:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar :
Então, temos uma raiz . Vamos agora resolver o polinômio de terceiro grau:
Observando, percebemos que também é raiz desse polinômio. Fazendo a divisão por :
O quadrado pode ser fatorado como . Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz simples contribui com uma função exponencial, e raízes múltiplas adicionam termos multiplicados por para cada repetição.
Então, temos:
Simplificando :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os constantes e :
Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
á
Após calcular as derivadas e substituir , resolvemos o sistema de equações para encontrar os valores de e .

Resposta

A solução do PVI é:

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para .