(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):
l y^(4)-3 y^prime prime prime+3 y^prime prime-y^prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de quarta ordem. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e que também atende às condições iniciais fornecidas. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes, como encontrar a equação característica, determinar suas raízes e aplicar as condições iniciais para achar os constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 0
Para resolver essa equação, a gente começa encontrando a equação característica, que é obtida substituindo na equação diferencial. Isso nos leva a uma equação polinomial em .

Passo 3

Substituindo y = e^rt y' = re^rt y'' = r^2 e^rt y''' = r^3 e^rt y'''' = r^4 e^rt e derivando, temos:
r^4 e^rt - 3r^3 e^rt + 3r^2 e^rt - r e^rt = 0
Substituindo na equação original:
r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0
Podemos dividir todos os termos por r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0 (que nunca é zero):
Essa é a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0
Podemos fatorar r(r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = 0 :
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0
Então, temos uma raiz (r - 1)(r^2 - 2r + 1) = 0 . Vamos agora resolver o polinômio de terceiro grau:
r = 0, r = 1 (com mu
Observando, percebemos que também é raiz desse polinômio. Fazendo a divisão por :
O quadrado pode ser fatorado como . Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz simples contribui com uma função exponencial, e raízes múltiplas adicionam termos multiplicados por y(t) = C1 e^0t + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t para cada repetição.
Então, temos:
y(t) = C1 + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t
Simplificando :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os constantes y(0) = 0 y'(0) = 0 y''(0) = 1 y'''(0) = 1 e y(t) = C1 + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t :
y'(t) = (C3 + 2C4 t) e^t + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t
Calculando as derivadas de y''(t) = (2C4) e^t + 2(C3 + 2C4 t) e^t + (C2 + C3 t + C4 t^2) e^t :
y'''(t) = (continua o cálculo das derivadas)
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
á
Após calcular as derivadas e substituir , resolvemos o sistema de equações para encontrar os valores de e .

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = -1 + (1 + t + t^2) e^t

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