(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas,
e
, então
e
são soluções fundamentais de (1) e portanto
é solução geral de (1), para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas da forma
e
, então as funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial (1). Além disso, queremos concluir que a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como lidar com raízes complexas na equação indicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação indicial. Em muitas equações diferenciais, especialmente aquelas com singularidades, supomos uma solução da forma
e substituímos na equação para encontrar os valores de
. A equação que obtemos para
é chamada de equação indicial.
Passo 3
No nosso caso, a equação indicial tem duas raízes complexas:
e
. Quando as raízes são complexas, isso significa que as soluções da equação diferencial envolvem funções trigonométricas combinadas com potências de
.
Passo 4
Vamos construir as soluções usando essas raízes. Para uma raiz complexa
, a solução correspondente geralmente envolve:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Passo 5
Dessa forma, podemos identificar duas soluções fundamentais:
Essas duas soluções são linearmente independentes, o que significa que nenhuma delas pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante.
Passo 6
Como temos duas soluções lineares independentes, a combinação linear delas também será uma solução geral da equação diferencial. Ou seja:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
são soluções fundamentais da equação diferencial (1). Assim, a solução geral para
é:
Exercícios relacionados
(1,00) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
© Suponha que
e
sejam constantes dadas para as quais
tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma
e
, mostre que uma solução geral da equação
é
.
(b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.
(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial:
,
.