(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas, r1 = alpha + i beta e r2 = alpha - i beta, então y1(x) = x^(alpha) cos(beta ln x) e y2(x) = x^alpha sen(beta ln x) são soluções fundamentais de (1) e portanto y(x) = c1 * y1(x) + c2 * y2(x) é solução geral de (1), para x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas da forma e , então as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial (1). Além disso, queremos concluir que a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como lidar com raízes complexas na equação indicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação indicial. Em muitas equações diferenciais, especialmente aquelas com singularidades, supomos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de . A equação que obtemos para é chamada de equação indicial.

Passo 3

No nosso caso, a equação indicial tem duas raízes complexas: e . Quando as raízes são complexas, isso significa que as soluções da equação diferencial envolvem funções trigonométricas combinadas com potências de .

Passo 4

Vamos construir as soluções usando essas raízes. Para uma raiz complexa , a solução correspondente geralmente envolve:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 5

Dessa forma, podemos identificar duas soluções fundamentais:
Essas duas soluções são linearmente independentes, o que significa que nenhuma delas pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante.

Passo 6

Como temos duas soluções lineares independentes, a combinação linear delas também será uma solução geral da equação diferencial. Ou seja:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

Portanto, mostramos que e são soluções fundamentais da equação diferencial (1). Assim, a solução geral para é:

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