(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação
. O cosseno hiperbólico,
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
. O seno hiperbólico, senh
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para
e senh
. Mostre também que
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
. O objetivo é encontrar as soluções para essa equação que representam o cosseno hiperbólico,
, e o seno hiperbólico, , usando condições iniciais específicas. Para isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar as soluções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Fatorando
, que nunca é zero, temos:
Então, as soluções gerais são combinações lineares das funções
e
, ou seja:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as soluções específicas para
e .
Para
:
Condições iniciais:
Primeiro, aplicamos
na solução geral:
Agora, calculamos a derivada de
:
E aplicamos
:
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
E substituindo em
:
Então, a solução para
é:
Passo 4
Para :
Condições iniciais:
Aplicamos
na solução geral:
Calculamos a derivada:
E aplicamos
:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
E substituindo em
:
Então, a solução para é:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que as derivadas das funções encontradas satisfazem:
Calculando a derivada de
:
E a derivada de :
Resposta
As soluções explícitas são:
Além disso, as derivadas satisfazem:
Exercícios relacionados
(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial
, onde
é uma função contínua em
.
(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial:
,
.
em que
é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se
?
(a) Para qual faixa de valores de