(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação y'' - y = 0. O cosseno hiperbólico, cosh t, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: y(0) = 1 e y'(0) = 0. O seno hiperbólico, senh t, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: y(0) = 0 e y'(0) = 1.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para cosh t e senh t. Mostre também que d/dt cosh(t) = senh(t) e d/dt senh(t) = cosh(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O objetivo é encontrar as soluções para essa equação que representam o cosseno hiperbólico, , e o seno hiperbólico, , usando condições iniciais específicas. Para isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar as soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Fatorando , que nunca é zero, temos:
Então, as soluções gerais são combinações lineares das funções e , ou seja:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as soluções específicas para e .
Para :
Condições iniciais:
Primeiro, aplicamos na solução geral:
Agora, calculamos a derivada de :
E aplicamos :
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
E substituindo em :
Então, a solução para é:

Passo 4

Para :
Condições iniciais:
Aplicamos na solução geral:
Calculamos a derivada:
E aplicamos :
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
E substituindo em :
Então, a solução para é:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que as derivadas das funções encontradas satisfazem:
Calculando a derivada de :
E a derivada de :

Resposta

As soluções explícitas são:
Além disso, as derivadas satisfazem:

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