(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação . O cosseno hiperbólico, , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: e . O seno hiperbólico, senh , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: e .
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para e senh . Mostre também que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O objetivo é encontrar as soluções para essa equação que representam o cosseno hiperbólico, , e o seno hiperbólico, , usando condições iniciais específicas. Para isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar as soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Fatorando , que nunca é zero, temos:
Então, as soluções gerais são combinações lineares das funções e , ou seja:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as soluções específicas para e .
Para :
Condições iniciais:
Primeiro, aplicamos na solução geral:
Agora, calculamos a derivada de :
E aplicamos :
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
E substituindo em :
Então, a solução para é:

Passo 4

Para :
Condições iniciais:
Aplicamos na solução geral:
Calculamos a derivada:
E aplicamos :
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
E substituindo em :
Então, a solução para é:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que as derivadas das funções encontradas satisfazem:
Calculando a derivada de :
E a derivada de :

Resposta

As soluções explícitas são:
Além disso, as derivadas satisfazem:

Exercícios relacionados

(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial , onde é uma função contínua em .
(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial: , .
Considere a equação
em que é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se ?
Resolva o seguinte problema de valor inicial: