(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
y(t)=c1 cos t+c2 sen t+integral0^t f(s) sen(t-s) d s
é uma solução geral para equação diferencial y^prime prime+y=f(t), onde f(t) é uma função contínua em (-infty, infty).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método da variação de parâmetros para mostrar que a função
y(t) = c1 cos t + c2 sen t + integral0^t f(s) sen(t-s) , ds
é uma solução geral da equação diferencial
y'' + y = f(t)
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o método da variação de parâmetros e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma
y'' + y = f(t)
é uma equação linear não homogênea. A solução geral dessa equação é a soma da solução geral da homogênea associada
y'' + y = 0
e de uma solução particular da não homogênea.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0,
cujo solução são raízes complexas
r = pm i
Então, a solução geral da homogênea é
yh(t) = c1 cos t + c2 sen t,
onde e são constantes.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y'' + y = f(t) da equação
Aqui é onde entra o método da variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar assumindo que os coeficientes das soluções homogêneas não são constantes, mas sim funções que variações.

Passo 5

Para aplicar a variação de parâmetros, escrevemos a solução particular como:
yp(t) = u1(t) cos t + u2(t) sen t,
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 6

Derivamos yp'(t) = u1'(t) cos t - u1(t) sen t + u2'(t) sen t + u2(t) cos t :
u1'(t) cos t + u2'(t) sen t = 0
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da derivada.

Passo 7

Substituindo - u1'(t) sen t + u2'(t) cos t = f(t) e suas derivadas na equação original , e usando a condição que impusemos, conseguimos uma equação para e :

Passo 8

Temos agora um sistema de equações:
u1'(t) cos t + u2'(t) sen t = 0, - u1'(t) sen t + u2'(t) cos t = f(t)
Resolvendo esse sistema para u1'(t) = -sen t cdot f(t), u2'(t) = cos t cdot f(t) e , encontramos:

Passo 9

Integrando u1(t) = -integral sen t cdot f(t) , dt, u2(t) = integral cos t cdot f(t) , dt e yp(t) = -sen t integral sen t cdot f(t) , dt + cos t integral cos t cdot f(t) , dt , temos:
Portanto, a solução particular fica:

Passo 10

Utilizando a identidade trigonométrica para convolução, podemos reescrever a solução particular como:
yp(t) = integral0^t f(s) sen(t - s) , ds
Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea e da particular:
y(t) = c1 cos t + c2 sen t + integral0^t f(s) sen(t - s) , ds

Resposta

Portanto, mostramos que
y(t) = c1 cos t + c2 sen t + integral0^t f(s) sen(t - s) , ds
é a solução geral da equação diferencial
y'' + y = f(t)

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