(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial , onde é uma função contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método da variação de parâmetros para mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o método da variação de parâmetros e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma
é uma equação linear não homogênea. A solução geral dessa equação é a soma da solução geral da homogênea associada
e de uma solução particular da não homogênea.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea
A equação característica é
cujo solução são raízes complexas
Então, a solução geral da homogênea é
onde e são constantes.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação
Aqui é onde entra o método da variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar assumindo que os coeficientes das soluções homogêneas não são constantes, mas sim funções que variações.

Passo 5

Para aplicar a variação de parâmetros, escrevemos a solução particular como:
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 6

Derivamos :
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da derivada.

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original , e usando a condição que impusemos, conseguimos uma equação para e :

Passo 8

Temos agora um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema para e , encontramos:

Passo 9

Integrando e , temos:
Portanto, a solução particular fica:

Passo 10

Utilizando a identidade trigonométrica para convolução, podemos reescrever a solução particular como:
Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea e da particular:

Resposta

Portanto, mostramos que
é a solução geral da equação diferencial

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