(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial
, onde
é uma função contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método da variação de parâmetros para mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o método da variação de parâmetros e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma
é uma equação linear não homogênea. A solução geral dessa equação é a soma da solução geral da homogênea associada
e de uma solução particular da não homogênea.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea
A equação característica é
cujo solução são raízes complexas
Então, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação
Aqui é onde entra o método da variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar
assumindo que os coeficientes das soluções homogêneas não são constantes, mas sim funções que variações.
Passo 5
Para aplicar a variação de parâmetros, escrevemos a solução particular como:
onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 6
Derivamos
:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos ajuda a reduzir a expressão da derivada.
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original
, e usando a condição que impusemos, conseguimos uma equação para
e
:
Passo 8
Temos agora um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema para
e
, encontramos:
Passo 9
Integrando
e
, temos:
Portanto, a solução particular fica:
Passo 10
Utilizando a identidade trigonométrica para convolução, podemos reescrever a solução particular como:
Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea e da particular:
Resposta
Portanto, mostramos que
é a solução geral da equação diferencial
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(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial:
,
.
(b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.
(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação
. O cosseno hiperbólico,
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
. O seno hiperbólico, senh
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para e senh
. Mostre também que
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para
em que
é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se
?
(a) Para qual faixa de valores de