( 1 , 5 0 ) Considere a equação
2 y^prime prime-lambda y^prime+(lambda+2) y=0
em que lambda é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de lambda tem-se lim x infty y(x)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
2 y'' - lambda y' + (lambda + 2) y = 0
Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de lambda a solução dessa equação vai tender a zero quando x vai para infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como analisar o comportamento das soluções usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a determinar as soluções da equação diferencial.
Para a equação diferencial geral:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos:
  • a = 2
  • b = -lambda
  • c = lambda + 2
Então, a equação característica fica:
2 r^2 - lambda r + (lambda + 2) = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r, que nos darão as soluções da equação diferencial.
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo a, b e c:
r = lambda pm raizlambda^2 - 8lambda - 164
Aqui, o discriminante é:
De

Passo 4

A natureza das raízes depende do valor do discriminante De:
  • Se De 0: Duas raízes reais e distintas.
  • Se De: Raizes reais e iguais.
  • Se De: Raízes complexas conjugadas.
Cada caso afetará o comportamento da solução y(x) conforme x infty.

Passo 5

Para que limx infty y(x) = 0, precisamos que todas as partes da solução decayam para zero. Isso acontece se:
  1. Ambas as raízes têm parte real negativa.
Vamos analisar isso:
  • Somatório das raízes: r1 + r2 = lambda2
  • Produto das raízes: r1 cdot r2 = lambda + 22
Para ambas as raízes terem parte real negativa, devemos ter:
  1. r1 + r2 < 0 Rightarrow lambda2 < 0 Rightarrow lambda < 0
  2. r1 cdot r2 > 0 Rightarrow lambda + 22 > 0 Rightarrow lambda + 2 > 0 Rightarrow lambda > -2

Passo 6

Agora, combinando as duas condições:
  • lambda < 0
  • lambda > -2
Isso significa que lambda deve estar entre -2 e 0.

Resposta

A faixa de valores de lambda para a qual lim x infty y(x)=0 é:
-2 < lambda < 0

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