Considere a equação
em que é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de a solução dessa equação vai tender a zero quando vai para infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como analisar o comportamento das soluções usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a determinar as soluções da equação diferencial.
Para a equação diferencial geral:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de , que nos darão as soluções da equação diferencial.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , e :
Aqui, o discriminante é:

Passo 4

A natureza das raízes depende do valor do discriminante :
  • Se : Duas raízes reais e distintas.
  • Se : Raizes reais e iguais.
  • Se : Raízes complexas conjugadas.
Cada caso afetará o comportamento da solução conforme .

Passo 5

Para que , precisamos que todas as partes da solução decayam para zero. Isso acontece se:
  1. Ambas as raízes têm parte real negativa.
Vamos analisar isso:
  • Somatório das raízes:
  • Produto das raízes:
Para ambas as raízes terem parte real negativa, devemos ter:

Passo 6

Agora, combinando as duas condições:
Isso significa que deve estar entre e .

Resposta

A faixa de valores de para a qual é:

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(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação . O cosseno hiperbólico, , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: e . O seno hiperbólico, senh , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais: e .
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para e senh . Mostre também que e .
(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial , onde é uma função contínua em .
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Considere a equação
em que é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral .