Considere a equação
em que
é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de
tem-se
?
(a) Para qual faixa de valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
a solução dessa equação vai tender a zero quando
vai para infinito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como analisar o comportamento das soluções usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a determinar as soluções da equação diferencial.
Para a equação diferencial geral:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
, que nos darão as soluções da equação diferencial.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
,
e
:
Aqui, o discriminante é:
Passo 4
A natureza das raízes depende do valor do discriminante
:
- Se
: Duas raízes reais e distintas. - Se
: Raizes reais e iguais. - Se
: Raízes complexas conjugadas.
Cada caso afetará o comportamento da solução
conforme
.
Passo 5
Para que
, precisamos que todas as partes da solução decayam para zero. Isso acontece se:
- Ambas as raízes têm parte real negativa.
Vamos analisar isso:
- Somatório das raízes:
- Produto das raízes:
Para ambas as raízes terem parte real negativa, devemos ter:
Passo 6
Agora, combinando as duas condições:
Isso significa que
deve estar entre
e
.
Resposta
A faixa de valores de
para a qual
é: