(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial: , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais! A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem:
Nós precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e também atende às condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, construir a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação da forma:
é:
No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Portanto, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
çã
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo :
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição. Da Equação 1, temos:
Substituindo isso na Equação 2:
Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 5:
Agora, substituímos de volta na Equação 1:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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