(d) Use o resultado da parte © para resolver o problema de valor inicial:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais! A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem:
Nós precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e também atende às condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, construir a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação da forma:
é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Portanto, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição. Da Equação 1, temos:
Substituindo isso na Equação 2:
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 5:
Agora, substituímos
de volta na Equação 1:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Exercícios relacionados
(b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.
(b) Mostre que se a equação indicial (2) tem duas raízes complexas,
e
, então
e
são soluções fundamentais de (1) e portanto
é solução geral de (1), para
.
(1,00) Use o método da variação de parâmetros para mostrar que
é uma solução geral para equação diferencial
, onde
é uma função contínua em
.
(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação
. O cosseno hiperbólico,
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
. O seno hiperbólico, senh
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para e senh
. Mostre também que
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para