Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além das condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 3
Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito da equação tem duas partes:
e
. Vamos buscar soluções particulares para cada uma separadamente e depois somá-las.
Passo 5
Primeiro, para o termo
, já que
é solução da homogênea, vamos tentar:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Igualando com o lado direito da equação
:
Isso nos dá o sistema:
Passo 9
Então, a solução particular para
é:
Passo 10
Agora, para o termo constante
, vamos buscar uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante.
Passo 11
Calculando as derivadas de
:
Passo 12
Substituindo na equação diferencial:
Passo 13
Então, a solução particular para o termo constante é:
Passo 14
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:
Podemos simplificar agrupando os termos com
:
Passo 15
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 16
Segundo, calculamos
para usar
.
Derivando
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Avaliando em
:
Substituindo
:
Ops! Parece que houve um erro na derivação. Vamos corrigir.
Passo 17
Vamos derivar novamente
de maneira mais cuidadosa:
Derivando termo a termo:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicando
:
Já sabemos que
, então:
Passo 18
Agora temos todas as constantes:
Então, a solução final é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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em que
é uma constante real.
(a) Para qual faixa de valores de tem-se
?
(a) Para qual faixa de valores de
(4,00) Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação
. O cosseno hiperbólico,
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
. O seno hiperbólico, senh
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais:
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para e senh
. Mostre também que
e
.
(a) Resolva estes problemas de valores iniciais para derivar fórmulas explícitas para
em que
é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
(b) Usando