(2, 0) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y'' - 2y' + y = x e^x + 4, y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além das condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 3

Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito da equação tem duas partes: x e^x e . Vamos buscar soluções particulares para cada uma separadamente e depois somá-las.

Passo 5

Primeiro, para o termo x e^x, já que e^x é solução da homogênea, vamos tentar:
Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Igualando com o lado direito da equação :
Isso nos dá o sistema:

Passo 9

Então, a solução particular para x e^x é:

Passo 10

Agora, para o termo constante , vamos buscar uma solução particular da forma:
Onde K é uma constante.

Passo 11

Calculando as derivadas de :

Passo 12

Substituindo na equação diferencial:

Passo 13

Então, a solução particular para o termo constante é:

Passo 14

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:
Podemos simplificar agrupando os termos com e^x:

Passo 15

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, y(0) = 1:

Passo 16

Segundo, calculamos para usar .
Derivando y(x):
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Avaliando em x = 0:
Substituindo :
Ops! Parece que houve um erro na derivação. Vamos corrigir.

Passo 17

Vamos derivar novamente y(x) de maneira mais cuidadosa:
Derivando termo a termo:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicando :
Já sabemos que , então:

Passo 18

Agora temos todas as constantes:
Então, a solução final é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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