1,00 mol de um gás perfeito monoatômico, no qual Cp, m=(5 / 2) R, sofre transformaçōes ilustradas no ciclo abaixo:
Calcule os volumes do estado 2 e 3 e as temperaturas nos estados 1,2 e 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem 1,00 mol de um gás perfeito monoatômico, e o enunciado nos dá que $ C_{p,m} = \frac{5}{2} R $. A parada acontece em um ciclo com três estados (1, 2 e 3), e a gente precisa encontrar os volumes nos estados 2 e 3, além das temperaturas em todos os estados.
Pra resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e algumas relações termodinâmicas básicas. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é a quantidade de matéria (em mols)
  • $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 8,314 , J/mol·K $)
  • $ T $ é a temperatura
Como temos $ n = 1,00 , mol $, isso simplifica um pouco as coisas.

Passo 3

Agora, vamos analisar o ciclo. Sem o diagrama, suponhamos que o ciclo tenha três processos:
  1. Isocórico (volume constante): De 1 para 2
  2. Isobárico (pressão constante): De 2 para 3
  3. Isentrópico (processo adiabático reversível): De 3 para 1
Essa é uma suposição comum em ciclos termodinâmicos com três estados. Vamos usar isso para encontrar as relações entre os estados.

Passo 4

Vamos começar encontrando as temperaturas. Sabemos que $ C_{p,m} = \frac{5}{2} R $, e para um gás monoatômico, a relação entre $ C_p $ e $ C_v $ é:
Cp,m = 52 R
Então,
Cp
Isso vai nos ajudar nos cálculos das transformações.

Passo 5

Processo Isocórico (1 para 2):
Como o volume é constante, podemos usar a relação:
T2T1 = P2P1
Mas precisamos de mais informações para avançar. Vamos considerar que no ciclo, o processo adiabático nos dá outra relação entre T e V ou P e V.
Processo Isentrópico (3 para 1):
Para um processo adiabático e reversível, temos:
TV^gamma - 1 = constante
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3} $
Então,
gamma = CpCv = 5/23/2 = 53

Passo 6

Processo Isobárico (2 para 3):
Pressão constante, então:
V3V2 = T3T2
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar $ V_2 $, $ V_3 $, e as temperaturas $ T_1 $, $ T_2 $, $ T_3 $.

Passo 7

Vamos supor que no estado 1 temos $ V_1 $ e $ T_1 $. Como não temos valores numéricos, expressaremos $ V_2 $ e $ V_3 $ em termos de $ V_1 $ e $ T_1 $.
Usando a relação do processo adiabático:
V1
E do processo isobárico:
T1
E do processo isocórico:
V2
Mas sem informações adicionais sobre as pressões ou volumes iniciais, precisamos de uma relação adicional. Normalmente, no ciclo, podemos usar a conservação da energia ou a condição de retorno ao estado inicial.

Passo 8

Como o ciclo retorna ao estado inicial, a variação de energia interna total é zero:
De
Para um gás ideal, $ \Delta U = n C_v \Delta T $. Então:
De
Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 9

Agora que sabemos que $ T_2 = T_3 $, podemos substituir na equação do processo adiabático:
T2 = T3
E do processo isobárico:
T1 V1^23 = T3 V3^23 = T2 V3^23
Isso significa que $ V_2 = V_3 $.

Passo 10

Agora, todas as relações se simplificam:
  • $ V_2 = V_3 $
  • $ T_2 = T_3 $
  • Pelo processo isocórico:
V2 = V3
Mas ainda precisamos relacionar com o processo adiabático. Vamos voltar à equação:
T2 = T3
E sabemos que $ V_2 = V_3 $.

Passo 11

Se considerarmos que no estado 1, $ V_1 $ e $ T_1 $ são conhecidos, podemos expressar $ V_2 $ em termos de $ V_1 $:
V1
Mas precisamos de mais uma relação para resolver completamente. Vamos assumir que $ P_1 V_1 = P_2 V_2 $ pelo processo isocórico.

Passo 12

Finalmente, sem valores numéricos específicos, não conseguimos determinar os valores exatos de $ V_2 $, $ V_3 $, $ T_1 $, $ T_2 $, e $ T_3 $. No entanto, sabemos que:
  • $ V_2 = V_3 $
  • $ T_2 = T_3 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\frac{2}{3}} $
Se mais informações fossem fornecidas, como valores de pressão ou volume em um estado específico, poderíamos calcular os valores exatos.

Resposta

Sem valores numéricos adicionais, determinamos que os volumes nos estados 2 e 3 são iguais ($ V_2 = V_3 V2 = V3 éã T_2 = T_3 $). As relações são:
T2 = T3
V2 = V3
Para valores específicos, seriam necessárias informações adicionais sobre pressionamentos ou volumes iniciais.

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