Uma amostra consistindo de 65 g de xenónio, é confinado em um contêiner a
e 298 K e, entāo é expandido adiabaticamente (a) reversivelmente à
e (b) contra a pressão constante de 1,00 atm. Calcule a temperatura final em cada caso. Dado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 65 g de xenônio (Xe) que está dentro de um contêiner a uma pressão inicial de 2,00 atm e uma temperatura de 298 K. A questão nos pede para calcular a temperatura final após duas expansões adiabáticas diferentes:
a) Reversível até 1,00 atm
b) Contra pressão constante de 1,00 atm
a) Reversível até 1,00 atm
b) Contra pressão constante de 1,00 atm
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e as relações entre pressão, volume e temperatura nesses processos. Também vamos usar a capacidade calorífica à pressão constante fornecida, que é $ C_{p,m}(\mathrm{Xe}) = 20,79 , \mathrm{J/(g \cdot K)} $.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): expansão adiabática reversível de 2,00 atm para 1,00 atm.
Em um processo adiabático reversível (ou isentrópico), não há troca de calor com o ambiente ($ Q = 0 $), e podemos usar a seguinte relação para gases ideais:
Onde:
- $ T_1 $ é a temperatura inicial (298 K)
- $ P_1 $ é a pressão inicial (2,00 atm)
- $ P_2 $ é a pressão final (1,00 atm)
- $ \gamma $ é a razão entre as capacidades caloríficas $ C_p / C_v $
Para gases monoatômicos como o xenônio, $ \gamma = \frac{5}{3} $.
Vamos calcular:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): expansão adiabática contra pressão constante de 1,00 atm.
Neste caso, mesmo sendo um processo adiabático ($ Q = 0 $), a pressão é mantida constante. Para calcular a temperatura final, podemos usar a relação derivada da primeira lei da termodinâmica:
Onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna e $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema. Para gases ideais, $ \Delta U = m C_v \Delta T $ e $ W = P \Delta V $.
Primeiro, precisamos encontrar $ C_v $. Sabemos que $ C_p = C_v + R $, mas como não nos foi dado o valor de $ R $, vamos usar a relação para $ \gamma $:
Com $ \gamma = \frac{5}{3} $ e $ C_p = 20,79 , \mathrm{J/(g \cdot K)} $:
Agora, aplicando a equação de trabalho:
Como não temos o volume inicial, podemos usar a equação dos gases ideais para relacionar $ V $ e $ T $:
Resolvendo para $ V $:
Substituindo na equação do trabalho:
Simplificando:
Isso implica que $ T_2 = T_1 $, ou seja, a temperatura final permanece a mesma quando a expansão adiabática ocorre contra pressão constante.
Resposta
a) A temperatura final $ T_2 $ é aproximadamente 216 K.
b) A temperatura final $ T_2 $ permanece igual a 298 K.