(2,00 pontos) Nos exercícios (i) e (ii), encontre a derivadas direcionais da função em P0 na direção de A.
Teorema 2. A derivada direcional é um produto escalar.
Se f(x, y) for diferenciável em uma região aberta contendo P0(x0, y0), então
(d f / d s)_{u, P0} = (nabla f)_{P0} . u
o produto escalar do gradiente de f em P0 e u.
(i) h(x, y) = arctg(y / x) + raiz(3) * arcsen(x * y / 2) ; P0(1, 1) ; A = 3 * i - 2 * j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas direcionais da função no ponto na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Vamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
Ent��o:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
Então:

Passo 5

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Então, o gradiente de no ponto é:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a direção do vetor . Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário dividindo-o pelo seu módulo:

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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