(2,00 pontos) Nos exercícios (i) e (ii), encontre a derivadas direcionais da função em na direção de A.
Teorema 2. A derivada direcional é um produto escalar.
Se for diferenciável em uma região aberta contendo , então
o produto escalar do gradiente de em e .
(i) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas direcionais da função no ponto na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Vamos encontrar e .
Passo 3
Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
Ent��o:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
Então:
Passo 5
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Passo 6
Então, o gradiente de no ponto é:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a direção do vetor . Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário dividindo-o pelo seu módulo:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional: