Calcule as integrais impróprias:(f)
Resposta:
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral imprópria
. Isso é uma questão de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais impróprias. Vamos precisar usar substituição de variáveis e analisar o comportamento da integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar
. Assim, precisamos achar
em termos de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, queremos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo na integral original:
A integral de
é o logaritmo natural de
.
Passo 5
Integrando:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada de 0 até
.
Passo 6
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
À medida que
vai para infinito,
também vai para infinito, então toda a expressão tende a infinito.
Resposta
A integral
diverge para
.