Calcule as integrais impróprias:(f) integral0^infty x1+2 x^2 d x, Resposta: infty

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral imprópria . Isso é uma questão de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais impróprias. Vamos precisar usar substituição de variáveis e analisar o comportamento da integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar . Assim, precisamos achar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de du = ddx(1 + 2x^2) , dx = 4x , dx em relação a x , dx = du4 :
Agora, queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral x1 + 2x^2 , dx = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u , du
A integral de é o logaritmo natural de .

Passo 5

Integrando:
14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C = 14 ln(1 + 2x^2) + C
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada de 0 até .

Passo 6

Vamos calcular o limite quando limA to infty 14 ln(1 + 2A^2) - 14 ln(1 + 2 cdot 0^2) = limA to infty 14 ln(1 + 2A^2) - 14 ln(1) tende ao infinito:
= limA to infty 14 ln(2A^2) - 0 = limA to infty 14 (ln 2 + 2ln A)
À medida que vai para infinito, também vai para infinito, então toda a expressão tende a infinito.

Resposta

A integral diverge para .

Exercícios relacionados