encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y'' + y' - 2y = 2t, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, então temos o seguinte problema: resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução dessa equação homogênea é importante porque vamos usá-la para construir a solução geral do problema.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo :
Para o termo constante:

Passo 9

Com e , a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
çã

Passo 12

Segundo, derivamos para aplicar :
Para :
çã

Passo 13

Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Passo 14

Com e , a solução particular fica:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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