encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, então temos o seguinte problema: resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções gerais e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução dessa equação homogênea é importante porque vamos usá-la para construir a solução geral do problema.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Passo 9
Com
e
, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 12
Segundo, derivamos
para aplicar
:
Para
:
Passo 13
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 14
Com
e
, a solução particular fica:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: