Seja C a curva (plana) de equação y = ln(x). Determine o valor da curvatura máxima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela equação . O objetivo é determinar o valor máximo da curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas e da fórmula da curvatura para funções no plano.

Passo 2

A curvatura de uma curva no plano, para uma função , é dada pela fórmula:
Onde é a primeira derivada e é a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função :

Passo 4

Substituindo e na fórmula da curvatura:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o valor máximo da curvatura, precisamos encontrar o valor de que maximiza . Vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Após simplificar a equação, percebemos que não há soluções reais para , o que indica que o máximo ocorre em um ponto específico.

Passo 6

Analisando os valores de em alguns pontos:
  • Em :
  • Em ou , tende a 0.
Portanto, o valor máximo da curvatura ocorre em .

Resposta

O valor da curvatura máxima é .

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