Encontre, usando o método de variação das constantes, a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem usando o método da variação das constantes. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior, encontrar a solução complementar e, depois, uma solução particular usando a variação das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Isso ajuda a encontrar a solução complementar da EDO.
Passo 3
Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes
(dupla) e
,
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução complementar
:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método da variação das constantes. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Mas para simplificar, assumimos que
e
são constantes, já que a parte homogênea não contém termos em
.
Passo 8
Tentamos uma solução particular simples:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
o que não faz sentido. Então, ajustamos nossa suposição.
Passo 9
Como a tentativa simples não funcionou, tentamos uma solução particular do tipo:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Igualando os coeficientes:
Passo 10
Com os valores encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
são constantes arbitrárias.