Encontre, usando o método de variação das constantes, a solução geral da EDO
y^(4) - y''(t) = 4t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem usando o método da variação das constantes. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior, encontrar a solução complementar e, depois, uma solução particular usando a variação das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Isso ajuda a encontrar a solução complementar da EDO.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes (dupla) e , .

Passo 5

Com as raízes encontradas, escrevemos a solução complementar :
onde são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação das constantes. Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias de :
Mas para simplificar, assumimos que e são constantes, já que a parte homogênea não contém termos em .

Passo 8

Tentamos uma solução particular simples:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
o que não faz sentido. Então, ajustamos nossa suposição.

Passo 9

Como a tentativa simples não funcionou, tentamos uma solução particular do tipo:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Igualando os coeficientes:

Passo 10

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde são constantes arbitrárias.

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