( 2,00 pt) Uma barra fina uniforme de comprimento 1 m e massa 2 kg é livre para girar por um pino sem atrito passando por uma extremidade (figura ao lado). A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Determine a velocidade que a outra extremidade da barra alcança na sua posição mais baixa.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra fina uniforme de 1 metro de comprimento e 2 kg de massa que pode girar livremente em um pino sem atrito em uma das extremidades. A barra é solta do repouso na posição horizontal, e precisamos descobrir qual a velocidade que a outra extremidade atinge quando chega na posição mais baixa. Vamos usar os conceitos de Energia Mecânica e Momento de Inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a energia potencial gravitacional (Epg) da barra quando ela está na posição horizontal. A energia potencial é dada por:
Epg = m cdot g cdot h
onde:
  • Epg = 2 cdot 9,81 cdot 0,5 = 9,81 , J (massa da barra),
  • (aceleração da gravidade),
  • é a altura do centro de massa da barra em relação à posição mais baixa.
Como a barra é uniforme e tem comprimento , o centro de massa está a meio caminho, ou seja, .
Então:

Passo 3

Ao liberar a barra, essa energia potencial será convertida em energia cinética rotacional (Ec). A energia cinética rotacional é dada por:
Ec = 12 cdot I cdot omega^2
onde:
  • I = 13 cdot m cdot L^2 = 13 cdot 2 cdot 1^2 = 23 , kg·m^2 é o momento de inércia da barra em relação ao pino,
  • 9,81 = 12 cdot 23 cdot omega^2 é a velocidade angular da barra.
Para uma barra fina girando em uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
9,81 = 13 cdot omega^2 implies omega^2 = 9,81 cdot 3 = 29,43
Igualando a energia potencial à energia cinética:
omega = raiz29,43 approx 5,42 , rad/s
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade linear ( v = omega cdot L ) da extremidade da barra, usamos a relação entre velocidade linear e velocidade angular:
v = 5,42 cdot 1 = 5,42 , m/s
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade que a extremidade da barra alcança na posição mais baixa é aproximadamente 5,42 m/s.

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