( 2,00 pt) Uma barra fina uniforme de comprimento 1 m e massa 2 kg é livre para girar por um pino sem atrito passando por uma extremidade (figura ao lado). A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Determine a velocidade que a outra extremidade da barra alcança na sua posição mais baixa.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra fina uniforme de 1 metro de comprimento e 2 kg de massa que pode girar livremente em um pino sem atrito em uma das extremidades. A barra é solta do repouso na posição horizontal, e precisamos descobrir qual a velocidade que a outra extremidade atinge quando chega na posição mais baixa. Vamos usar os conceitos de Energia Mecânica e Momento de Inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a energia potencial gravitacional (Epg) da barra quando ela está na posição horizontal. A energia potencial é dada por:
onde:
-
(massa da barra), -
(aceleração da gravidade), -
é a altura do centro de massa da barra em relação à posição mais baixa.
Como a barra é uniforme e tem comprimento
, o centro de massa está a meio caminho, ou seja,
.
Então:
Passo 3
Ao liberar a barra, essa energia potencial será convertida em energia cinética rotacional (Ec). A energia cinética rotacional é dada por:
onde:
-
é o momento de inércia da barra em relação ao pino, -
é a velocidade angular da barra.
Para uma barra fina girando em uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Igualando a energia potencial à energia cinética:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade linear (
) da extremidade da barra, usamos a relação entre velocidade linear e velocidade angular:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade que a extremidade da barra alcança na posição mais baixa é aproximadamente 5,42 m/s.