Uma esfera metálica com raio a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo . Existe uma carga na esfera interna e uma carga na esfera externa.
(a) Determine o potencial para as regiões (i) ; (ii) ; (iii) . (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere igual a zero para infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância do centro, sendo . (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja , mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, . Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas metálicas concêntricas: uma interna com raio e carga , e uma externa com raio e carga . Queremos determinar o potencial elétrico em três regiões diferentes e depois explorar como isso afeta o campo elétrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a fórmula do potencial elétrico para distribuições de carga esférica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para determinar o potencial em três regiões:
  1. Região (i):
  2. Região (ii):
  3. Região (iii):
Vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma esfera esférica com carga é dado por:
Como temos duas esferas, a soma dos potenciais delas dará o potencial total .

Passo 3

Região (i):
Nessa região, estamos dentro da esfera interna. O potencial devido à esfera interna é constante e igual a:
A esfera externa, por estar a uma distância maior, contribui com:
Então, o potencial total é a soma:

Passo 4

Região (ii):
Aqui, estamos entre as duas esferas. A esfera interna contribui com um potencial que agora varia com :
A esfera externa ainda está a uma distância maior, então seu potencial é constante:
Somando os dois:

Passo 5

Região (iii):
Agora, estamos fora da esfera externa. Ambas as cargas contribuem para o potencial:
Somando:
Como o potencial no infinito foi considerado zero, confirmamos que fora das esferas o potencial é zero.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), que pede para mostrar que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é:
Usando o resultado da parte (a) na região :
Como estamos comparando os potenciais das duas esferas, multiplicamos por 2 para ajustar o fator:

Passo 7

Na parte ©, precisamos usar a Equação 23.23 e o resultado da parte (a) para encontrar o campo elétrico entre as esferas:
Sabemos que a relação entre o campo elétrico e o potencial é:
Usando o potencial da região :
Derivando em relação a :
Agora, substituindo na expressão dada:

Passo 8

Passando para a parte (d), precisamos calcular o campo elétrico fora da esfera maior a uma distância . Usando a Equação 23.23 e o potencial da parte (a):
Como fora, o campo elétrico também é:
Mas pela Lei de Gauss, como temos cargas e , o campo total fora das esferas é zero.

Passo 9

Finalmente, na parte (e), consideramos que a carga na esfera externa é ao invés de . Vamos ver como isso afeta as respostas:
  • Parte (b): O potencial depende apenas da diferença de cargas e das distâncias. Mesmo com , a forma permanece:
  • Parte ©: O campo elétrico entre as esferas também não muda, pois a relação depende da diferença das potencias e das distâncias.
  • Parte (d): Agora, fora das esferas, temos e . Então, o campo elétrico externo será:
Ou seja, a expressão muda porque a carga líquida fora das esferas não é mais zero.

Resposta

Resolvemos todas as partes do exercício mostrando passo a passo como determinar os potenciais e campos elétricos nas diferentes regiões das esferas metálicas concêntricas, além de considerar o caso com cargas diferentes na esfera externa. A expressão final para o campo elétrico fora da esfera maior quando a carga na esfera externa é é:

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