Uma esfera metálica com raio
a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo
. Existe uma carga
na esfera interna e uma carga
na esfera externa.
(a) Determine o potencial
para as regiões (i)
; (ii)
; (iii)
. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere
igual a zero para
infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância
do centro, sendo
. (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja
, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos,
. Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.
(a) Determine o potencial
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas metálicas concêntricas: uma interna com raio
e carga
, e uma externa com raio
e carga
. Queremos determinar o potencial elétrico
em três regiões diferentes e depois explorar como isso afeta o campo elétrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a fórmula do potencial elétrico para distribuições de carga esférica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para determinar o potencial
em três regiões:
- Região (i):
- Região (ii):
- Região (iii):
Vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma esfera esférica com carga
é dado por:
Como temos duas esferas, a soma dos potenciais delas dará o potencial total
.
Passo 3
Região (i):
Nessa região, estamos dentro da esfera interna. O potencial devido à esfera interna é constante e igual a:
A esfera externa, por estar a uma distância maior, contribui com:
Então, o potencial total é a soma:
Passo 4
Região (ii):
Aqui, estamos entre as duas esferas. A esfera interna contribui com um potencial que agora varia com
:
A esfera externa ainda está a uma distância maior, então seu potencial é constante:
Somando os dois:
Passo 5
Região (iii):
Agora, estamos fora da esfera externa. Ambas as cargas contribuem para o potencial:
Somando:
Como o potencial no infinito foi considerado zero, confirmamos que fora das esferas o potencial é zero.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), que pede para mostrar que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é:
Usando o resultado da parte (a) na região
:
Como estamos comparando os potenciais das duas esferas, multiplicamos por 2 para ajustar o fator:
Passo 7
Na parte ©, precisamos usar a Equação 23.23 e o resultado da parte (a) para encontrar o campo elétrico entre as esferas:
Sabemos que a relação entre o campo elétrico e o potencial é:
Usando o potencial da região
:
Derivando em relação a
:
Agora, substituindo
na expressão dada:
Passo 8
Passando para a parte (d), precisamos calcular o campo elétrico fora da esfera maior a uma distância
. Usando a Equação 23.23 e o potencial da parte (a):
Como
fora, o campo elétrico também é:
Mas pela Lei de Gauss, como temos cargas
e
, o campo total fora das esferas é zero.
Passo 9
Finalmente, na parte (e), consideramos que a carga na esfera externa é
ao invés de
. Vamos ver como isso afeta as respostas:
- Parte (b): O potencial
depende apenas da diferença de cargas e das distâncias. Mesmo com , a forma permanece:
-
Parte ©: O campo elétrico entre as esferas também não muda, pois a relação depende da diferença das potencias e das distâncias.
-
Parte (d): Agora, fora das esferas, temos
e . Então, o campo elétrico externo será:
Ou seja, a expressão muda porque a carga líquida fora das esferas não é mais zero.
Resposta
Resolvemos todas as partes do exercício mostrando passo a passo como determinar os potenciais e campos elétricos nas diferentes regiões das esferas metálicas concêntricas, além de considerar o caso com cargas diferentes na esfera externa. A expressão final para o campo elétrico fora da esfera maior quando a carga na esfera externa é
é:
Exercícios relacionados
Uma carga negativa
está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio
. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva
, localizada
(a) a uma distância do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).
(a) a uma distância
(b) a uma distância
Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia
. Lembre que a energia cinética da polia é
. Resp.:
.
(a)
,
e depois
e
empatados; (b)
, depois
e
empatados, depois
3. todas iguais 5. (a) diminuir; (b) horário; © anti-horário 7. aumentar 9.
,
,
11. menor
( 2,00 pt) Uma barra fina uniforme de comprimento 1 m e massa 2 kg é livre para girar por um pino sem atrito passando por uma extremidade (figura ao lado). A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Determine a velocidade que a outra extremidade da barra alcança na sua posição mais baixa.