Uma esfera metálica com raio r a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo rb. Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa.
(a) Determine o potencial V(r) para as regiões (i) r; (ii) ra; (iii) r>rb. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
Va b=q2 pi epsilon0(1ra-1rb)
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
E(r)=Va b(1ra-1rb) 1r^2
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r>rb. (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja -q, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, -Q. Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas metálicas concêntricas: uma interna com raio e carga , e uma externa com raio e carga . Queremos determinar o potencial elétrico em três regiões diferentes e depois explorar como isso afeta o campo elétrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Gauss e a fórmula do potencial elétrico para distribuições de carga esférica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para determinar o potencial V(r) = 14piepsilon0 qr, & para r >= raio da esfera 14piepsilon0 qraio da esfera, & para r < raio da esfera em três regiões:
  1. Região (i):
  2. Região (ii):
  3. Região (iii):
Vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma esfera esférica com carga é dado por:
Como temos duas esferas, a soma dos potenciais delas dará o potencial total .

Passo 3

Região (i): Vinterna = 14piepsilon0 qra
Nessa região, estamos dentro da esfera interna. O potencial devido à esfera interna é constante e igual a:
Vexterna = 14piepsilon0 ( -qrb )
A esfera externa, por estar a uma distância maior, contribui com:
V(r) = q4piepsilon0 ( 1ra - 1rb )
Então, o potencial total é a soma:

Passo 4

Região (ii): Vinterna = 14piepsilon0 qr
Aqui, estamos entre as duas esferas. A esfera interna contribui com um potencial que agora varia com Vexterna = 14piepsilon0 ( -qrb ) :
V(r) = q4piepsilon0 ( 1r - 1rb )
A esfera externa ainda está a uma distância maior, então seu potencial é constante:
Somando os dois:

Passo 5

Região (iii): Vinterna = 14piepsilon0 qr
Agora, estamos fora da esfera externa. Ambas as cargas contribuem para o potencial:
Vexterna = 14piepsilon0 ( -qr )
V(r) = q4piepsilon0 ( 1r - 1r ) = 0
Somando:
Como o potencial no infinito foi considerado zero, confirmamos que fora das esferas o potencial é zero.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), que pede para mostrar que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é:
Vab = q2piepsilon0 ( 1ra - 1rb )
Usando o resultado da parte (a) na região V(r) = q4piepsilon0 ( 1ra - 1rb ) :
Vab = 2 times q4piepsilon0 ( 1ra - 1rb ) = q2piepsilon0 ( 1ra - 1rb )
Como estamos comparando os potenciais das duas esferas, multiplicamos por 2 para ajustar o fator:

Passo 7

Na parte ©, precisamos usar a Equação 23.23 e o resultado da parte (a) para encontrar o campo elétrico entre as esferas:
E(r) = Vab( 1ra - 1rb ) 1r^2
Sabemos que a relação entre o campo elétrico e o potencial é:
E(r) = -dVdr
Usando o potencial da região V(r) = q4piepsilon0 ( 1r - 1rb ) :
E(r) = -dVdr = q4piepsilon0 1r^2
Derivando em relação a E(r) = q2piepsilon0 ( 1ra - 1rb )( 1ra - 1rb ) 1r^2 = q2piepsilon0 1r^2 :
Agora, substituindo na expressão dada:

Passo 8

Passando para a parte (d), precisamos calcular o campo elétrico fora da esfera maior a uma distância V(r) = 0 para r > rb . Usando a Equação 23.23 e o potencial da parte (a):
E(r) = -dVdr = 0
Como fora, o campo elétrico também é:
Mas pela Lei de Gauss, como temos cargas e , o campo total fora das esferas é zero.

Passo 9

Finalmente, na parte (e), consideramos que a carga na esfera externa é Vab = q2piepsilon0 ( 1ra - 1rb ) ao invés de E(r) = q - Q4piepsilon0 r^2 . Vamos ver como isso afeta as respostas:
  • Parte (b): O potencial depende apenas da diferença de cargas e das distâncias. Mesmo com , a forma permanece:
  • Parte ©: O campo elétrico entre as esferas também não muda, pois a relação depende da diferença das potencias e das distâncias.
  • Parte (d): Agora, fora das esferas, temos e . Então, o campo elétrico externo será:
Ou seja, a expressão muda porque a carga líquida fora das esferas não é mais zero.

Resposta

Resolvemos todas as partes do exercício mostrando passo a passo como determinar os potenciais e campos elétricos nas diferentes regiões das esferas metálicas concêntricas, além de considerar o caso com cargas diferentes na esfera externa. A expressão final para o campo elétrico fora da esfera maior quando a carga na esfera externa é E(r) = q - Q4piepsilon0 r^2 é:

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