(2,00) Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial segundo ordem com coeficientes variáveis:
E as condições são
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar métodos para encontrar soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, onde assumimos soluções do tipo
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução da forma:
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e
na equação original e agrupando os termos, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
e
.
Após resolver, encontramos os valores de
e
.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, calculamos
a partir da solução geral e aplicamos
. Depois, substituímos
na solução geral para que
.
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução que satisfaz o problema de valor de contorno dado é:
Com os valores de
e
determinados pelas condições
e
.
Exercícios relacionados
Obtenha os valores para os coeficientes
que satisfaçam a seguinte relação no intervalo
:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: