(2,00) Resolva o seguinte problema de valor de contorno:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial segundo ordem com coeficientes variáveis:
E as condições são e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar métodos para encontrar soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, onde assumimos soluções do tipo . Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é , vamos supor uma solução da forma:
Calculamos as derivadas de :
Substituindo e na equação original e agrupando os termos, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar e .
Após resolver, encontramos os valores de e .

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Primeiro, calculamos a partir da solução geral e aplicamos . Depois, substituímos na solução geral para que .
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução que satisfaz o problema de valor de contorno dado é:
Com os valores de e determinados pelas condições e .

Exercícios relacionados

Suponha que uma mola tenha uma massa e constante de mola e seja . Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa for aplicada, em que , use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa será descrito pela equação:
Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: